Question

Halla el ángulo formado por la rectas MN y PQ, dadas. Necesito de sus ayudas, porfaa..

Answer 1

1) Las rectas forman un ángulo entre sí de 142°

2) Las rectas forman un ángulo entre sí de 63,4°

3) Las rectas forman un ángulo entre sí de 28,74°

Explicación paso a paso:

Para hallar el ángulo formado por MN y PQ podemos definir los vectores MN y PQ restando las coordenadas de los extremos:

1) Tenemos para MN:

$MN=(x_N-x_M;y_N-y_M)=(1-(-1);5-(-5))=(2;10)$

Y para PQ:

$PQ=(x_Q-x_P;y_Q-y_P)=(-2-(-4);-1-3)=(2;-4)$

El producto escalar nos da el ángulo que forman:

$MN.PQ=||MN||.||PQ||.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{MN.PQ}{||MN||.||PQ||}=\frac{(2,10)(2,-4)}{\sqrt{2^2+10^2}\sqrt{2^2+(-4)^2}}\\\\cos(\theta)=\frac{2.2+10(-4)}{\sqrt{104}\sqrt{20}}=\frac{-36}{\sqrt{2080}}\\\\\theta=cos^{-1}(-\frac{36}{\sqrt{2080}})\\\\\theta=142\°$

2) Hacemos lo mismo que en el punto anterior:

$MN=(x_N-x_M;y_N-y_M)=(3-(-3);1-(-3))=(6,4)\\PQ=(x_Q-x_P;y_Q-y_P)=(3-(-4);-3-1)=(7;-4)$

$\theta=cos^{-1}(\frac{(6,4)(7,-4)}{\sqrt{6^2+4^2}\sqrt{7^2+(-4)^2}})=cos^{-1}(\frac{6.7+4(-4)}{\sqrt{52}\sqrt{65}})\\\\\theta=cos^{-1}(\frac{26}{\sqrt{3380}})\\\\\theta=63,4\°$

3) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con la horizontal. Así la recta de pendiente 7 forma un ángulo de:

$\alpha=tan^{-1}(7)=81,87\°$

Y la de pendiente 4/3 forma un ángulo con la horizontal de:

$\beta=tan^{-1}(\frac{4}{3})=53,13\°$

El ángulo que forman las rectas entre sí es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor:

$\theta=\alpha-\beta=81,87\°-53,13\°=28,74\°$