Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
en la circunferencia.
4. Longitud de la circunferencia y de un arco de circunferencia
5. El círculo
6. Áreas de figuras circulares
7. Aplicación del teorema de Pitágoras en la circunferencia
7.1. Ejemplos
7.2. Actividades
8. Cálculo de áreas de figuras más complejas
9. Cuestionarios
10. Más actividades
11. Cuadros sinópticos
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7.1. Ejemplos
A continuación veremos algunos ejemplos de triángulos rectángulos en la circunferencia en los cuales poder aplicar el teorema de Pitágoras.
Actividad 1
Mueve los puntos P, A y B del siguiente applet y observa lo que ocurre con el triángulo.
¿Qué tipo de triángulo obtenemos en todos los casos? ¿A qué recta pertenece el vértice A? ¿Y el B? ¿Con qué punto coincide el otro vértice?
Puedes mover el deslizador para variar el radio de la circunferencia y comprobar que tus conclusiones no dependen del tamaño de la circunferencia.
Conclusiones actividad 1
Teniendo en cuenta que la recta tangente a una circunferencia en un punto es siempre perpendicular al radio que pasa por ese punto siempre podremos trazar un triángulo rectángulo con el vértice correspondiente al ángulo recto en el punto de tangencia y los otros dos vértices, uno sobre la recta que contiene al radio y el otro sobre la recta de tangencia.
Actividad 2
Mueve el vértice B del triángulo que aparece en le siguiente applet. ¿Varían las longitudes de todos los lados del triángulo o alguna permanece constante?
Mueve el vértice V del triángulo, ¿Varían todos los ángulos del triángulo o alguno permanece constante? ¿Puedes explicar por qué?
Puedes mover el deslizador para variar el radio de la circunferencia y comprobar que tus conclusiones no dependen del tamaño de la circunferencia.
Conclusiones actividad 2
Basándonos en que cualquier ángulo inscrito en una circunferencia cuyo arco abarque una semicircunferencia es un ángulo recto podemos afirmar lo siguiente:
Todo triángulo que tenga por lado un diámetro de una circunferencia y el vértice opuesto a ese lado sobre la circunferencia es un triángulo rectángulo. En dicho triángulo la hipotenusa coincide con el diámetro y el vértice opuesto es el correspondiente al ángulo recto.
Actividad 3
En el siguiente applet aparece dibujada una cuerda de una circunferencia, su punto medio y el triángulo que forman el centro de la circunferencia, el punto medio de la cuerda y un extremo de la cuerda.
Mueve los puntos A o B y comprueba cómo son siempre los triángulos rosas que se muestran.
Puedes hacer variar el radio de la circunferencia utilizando el deslizador para poder generalizar tus conclusiones.
Intenta deducir por qué el ángulo α es siempre un ángulo recto.
Marca la casilla "Otros triángulos". Mueve el punto Q y observa qué tipo de triángulos se obtienen.
Intenta escribir alguna conclusión.
Conclusiones actividad 3
Cualquier radio que pase por el punto medio de una cuerda forma un ángulo recto con la misma.
Esto se puede demostrar del siguiente modo:
El punto medio de la cuerda pertenece a la mediatriz de la cuerda porque equidista de los dos extremos.
El centro de la circunferencia pertenece también a la mediatriz de la cuerda porque equidista de los dos extremos.
Uniendo los dos puntos anteriores (el centro de la circunferencia y el punto medio de la cuerda), se obtiene la mediatriz de la cuerda.
Como ya estudiamos en una unidad anterior, la mediatriz de un segmento es perpendicular al segmento.
Cualquier triángulo con un vértice en el punto medio de una cuerda, otro en un extremo y otro en la recta que contiene al radio que pasa por el punto medio de la cuerda es un triángulo rectángulo.
Actividad 4
En el siguiente applet puedes ver los pasos para hallar el área de un segmento circular que no contenga al centro de la circunferencia.
Puedes hacer variar los extremos de la cuerda que lo delimita, A y B, y también utilizar el deslizador para cambiar el radio de la circunferencia.
En el tercer paso aparece un triángulo cuya área es necesario calcular para hallar el área del segmento circular. Es en el triángulo rectángulo que forman la altura del triángulo, media cuerda y el radio de la circunferencia donde a veces es necesario utilizar el teorema de Pitágoras para hallar alguna de las dimensiones necesarias en el cálculo del área.
Actividad 5
En el siguiente applet puedes ver los pasos para hallar el área de un segmento circular que contenga al centro de la circunferencia.
Puedes hacer variar los extremos de la cuerda que lo delimita, A y B, y también utilizar el deslizador para cambiar el radio de la circunferencia.
En el segundo paso aparece un triángulo cuya área es necesario calcular para hallar el área del segmento circular. Es en el triángulo rectángulo que forman la altura del triángulo, media cuerda y el radio de la circunferencia donde a veces es necesario utilizar el teorema de Pitágoras para hallar alguna de las dimensiones necesarias en el cálculo del área
7 ejemplos de la circunferencia
- radio
- diámetro
- cuerda
- recta secante
- recta tangente
- arco
- 7 ejemplos del círculo
- una llanta
- una saca puntas
- un plato
- una ventana
- un reloj
- un disco
- una lámina
