Respuestas
Respuesta:
Ejemplo
Problema
Reescribe x2 + 6x = 8 de modo que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.
x2 + 6x = 8
b = 6
Esta ecuación tiene la constante 8. Ignórala por ahora y concéntrate en los términos x2 y x al lado izquierdo de la ecuación. El lado izquierdo tiene la forma x2 + bx, por lo que puedes identificar b.
x2 + 6x + 9 = 8 + 9
Para completar el cuadrado perfecto, suma al lado izquierdo.
b = 6, entonces
Esta es la ecuación, entonces debes sumar el mismo número a la derecha también.
x2 + 6x + 9 = 17
x2 + 6x + 9 = 17
(x + 3)2 = 17
Simplifica.
Comprueba que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.
(x + 3)2 =
x2 + 3x + 3x + 9 =
x2 + 6x + 9, y sí es.
Respuesta
x2 + 6x + 9 = 17
¿Puedes ver que completar el cuadrado en una ecuación es muy similar a completar el cuadrado en una expresión? La diferencia es que debes sumar el número nuevo (+9 en este caso) a ambos lados de la ecuación para mantener la equidad.
Ahora veamos un ejemplo donde completes el cuadrado para resolver una ecuación, encontrando el valor de la variable.
Ejemplo
Problema
Resolver. x2 – 12x – 4 = 0
x2 – 12x = 4
b = −12
Como no puedes factorizar el trinomio del lado izquierdo, vas a completar el cuadrado para resolver la ecuación.
Reescribe la ecuación con el lado izquierdo en la forma x2 + bx, para prepararte a completar el cuadrado. Identifica b.
x2 – 12x + 36 = 4 + 36
x2 – 12x + 36 = 40
Averigua qué valor sumar para completar el cuadrado. Suma para completar el cuadrado, entonces = .
Suma el valor a ambos lados de la ecuación y simplifica.
(x – 6)2 = 40
Reescribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado.
Usa la Propiedad de la Raíz Cuadrada. Recuerda incluir las dos raíces cuadradas, positiva y negativa, para no ignorar una de las soluciones.
Resuelve x sumando 6 a ambos lados. Simplifica si es necesario.
Respuesta
Habrás notado que como tienes que incluir las dos raíces cuadradas, todos los ejemplos tienen dos soluciones. Aquí hay otro ejemplo que es un poco distinto.
Ejemplo
Problema
Resolver. x2 + 16x + 17 = −47
x2 + 16x = −64
b = 16
Reescribe la ecuación con el lado izquierdo en la forma x2 + bx. Identifica b.
x2 + 16x + 64 = −64 + 64
x2 + 16x + 64 = 0
Suma , que es , a ambos lados.
(x + 8)2 = 0
Escribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado.
x + 8 = 0
Saca las raíces cuadradas de ambos lados. Normalmente se necesitan ambas raíces, la positiva y la negativa, pero 0 no es positivo ni negativo. 0 sólo tiene una raíz.
x = −8
Resuelve x.
Respuesta
x = −8
Observa el problema con más detenimiento y verás algo familiar. En lugar de completar el cuadrado, intenta sumar 47 a ambos lados de la ecuación. La ecuación x2 + 16x + 17 = −47 se convierte en x2 + 16x + 64 = 0. ¿Puedes factorizar esta ecuación agrupando? (Piensa en dos números cuyo producto sea 64 y cuya suma sea 16).
¡Por supuesto, se puede factorizar como (x + 8)(x + 8) = 0! Saber cómo completar el cuadrado es muy útil, pero no siempre es la única manera de resolver una ecuación.
Resolver. x2 – 16x = −1
A)
B)
C)
D)
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Sumario
Completar el cuadrado se usa para cambiar un binomio de la forma x2 + bx a un trinomio cuadrado perfecto, que puede factorizarse como . Cuando resuelvas ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado, ten cuidado de sumar a ambos lados de la ecuación para mantener la equidad. Entonces, la Propiedad de la Raíz Cuadrada puede usarse para resolver x. Con la Propiedad de la Raíz Cuadrada, ten cuidado de incluir las dos soluciones, la raíz cuadrada principal y la opuesta. Asegúrate de simplificar si es necesario.
Explicación paso a paso:
Respuesta: x puede ser -8/3 o 3.
x^2=x/3+8
Multiplicas por tres a ambos extremos para que puedas trabajar de una manera más cómoda:
3x^2=x+24
3x^2-x-24=0 Usas aspa simple:
3x +8
x -3
(3x+8)(x-3)=0
Igualas a 0 para halar el conjunto solución:
3x+8=0
3x=-8
x=-8/3
x-3=0
x=3
Por lo tanto x puede ser -8/3 o 3.