Question

RESUELVE LA INTEGRAL: ( e es una constante)$\int\limits^e_1 {\frac{ x^{2} +x-1}{ x^{2} } } \, dx$

Answer 1

$\int _1^e\frac{x^2+x-1}{x^2}dx$
Calculamos la integral indefinida:
Aplicando la regla de la suma:
$=\int \frac{x^2}{x^2}dx+\int \frac{x}{x^2}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$
Tomamos:
$\int \frac{x^2}{x^2}dx$
Simplificamos y agregamos una constante y nos da:
$=x$
Tomamos:
$\int \frac{x}{x^2}dx$
Simplificamos y aplicamos la regla de la integración:
$=\ln \left|x\right|$
Tomamos:
$\int \frac{1}{x^2}dx$
Aplicamos la regla de la potencia y simplificamos:
$=-\frac{1}{x}$
Juntamos:
$=x+\ln \left|x\right|-\left(-\frac{1}{x}\right)$
Simplificamos y agregamos una constante:
$=x+\frac{1}{x}+\ln \left|x\right|+C$
Calculamos los límites:
$\lim _{x\to \:1+}\left(x+\frac{1}{x}+\ln \left|x\right|\right)$
$=2$
y
$\lim _{x\to \:e-}\left(x+\frac{1}{x}+\ln \left|x\right|\right)$
$=1+\frac{1}{e}+e$
Por lo que:
$=1+\frac{1}{e}+e-2$
Simplificamos:
$=-1+\frac{1}{e}+e$
Decimal: 2,086
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