a) ¿cuantas fichas tendrá la figura 5 ? ¿y la figura 15 ? ¿cuantas fichas tendra la figura 145? b) subrayen las expresiones que representan la sucesión anterior. n2. 2n (n+1)2. n2+2n+1. c) como determinaron ñas expresiones que corresponde a la sucesion ?
Respuestas
PROGRESIONES CUADRÁTICAS O DE 2º ORDEN.
Es lo que tenemos aquí. Ni es una progresión aritmética ni geométrica porque no cumple con las condiciones que se requieren para que sea una de progresión de ese tipo.
En este tipo de progresiones, la diferencia entre términos consecutivos no es fija sino que va variando de modo que crea una segunda progresión que siempre es aritmética.
Contemos las fichas que tiene cada figura y coloquémoslas como simples números:
4, 9, 16, 25 ...
A poco que nos fijemos, esos números corresponden a los cuadrados de la sucesión de números naturales comenzando por el 2, es decir:
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
La figura nº 5 tendría el número de fichas que resulta del cuadrado de 6 que es 36 pero ya para calcular las fichas que tiene la figura que ocupe el lugar 145º hay que tener un término general representado por "n", tal como dice la tarea.
El término general debe partir del valor del primer término, que en este caso es 2, así que para empezar con ese valor hay que añadir una unidad a "n" de manera que al empezar la sucesión, el primer término tenga un valor de 2
aₙ = (n+1)²
Apartado a)
Así tenemos que se puede construir la progresión sustituyendo la letra "n" por el nº de orden que ocupa:
- Para n=1 ... a₁ = (1+1)² = 2² = 4 fichas
- Para n=2 ... a₂ = (2+1)² = 3² = 9 fichas
- Para n=4 ... a₃ = (3+1)² = 4² = 16 fichas
- Para n=5 ... a₄ = (4+1)² = 5² = 25 fichas
- Para n=6 ... a₅ = (5+1)² = 6² = 36 fichas tendrá la figura 5
- Para n=15 ... a₁₅ = (15+1)² = 16² = 256 fichas tendrá la figura 15
- Para n=145 ... a₁₄₅ = (145+1)² = 146² = 21.316 fichas para la figura 145
Apartado b)
La expresión que representa esta progresión, es decir, el término general es el que ya se ha anotado arriba y que repito aquí:
- n²
- 2n
- (n+1)²
- n²+2n+1 = (n+1)²
Apartado c)
Se va sustituyendo "n" por los números naturales y el resultado es el valor de los términos de la sucesión.
Respuesta:
cuántas fichas tendra la figura 5?