Si A és una matriz de tres filas y dos columnas, que dimensiones tendrá que tener una matriz M para que A^t * M sea una matriz cuadrada?
Respuestas
Respuesta:
ok
Explicación paso a paso:
No es posible efectuar A+B pues se trata de dos matrices de distinto orden. La matriz A pertenece al conjunto de matrices de 2x3 (dos filas por tres columnas, M2x3), mientras que B pertenece al conjunto de matrices de 3x2. (M3x2 ). Para que dos matrices puedan sumarse deben ser del mismo orden, es decir, deben pertenecer al mismo conjunto de matrices.
b) B × A
Como B Î M3x2 y A Î M2x3 , es posible efectuar el producto de la matriz de B por A, ya que el número de columnas de la matriz que pre-multiplica, B, coincide con el número de filas de la matriz que post-multiplica, A. El resultado será una matriz de 3x3. Se multiplican mediante el producto escalar los vectores fila de la matriz B por los vectores columna de la matriz A, colocando el escalar resultante como el elemento de la matriz producto correspondiente a la fila y columna multiplicadas. Es decir, el escalar resultante de multiplicar la segunda fila de B por la tercera columna de A, será el elemento a23 de la matriz B × A , (elemento de tercero de la segunda fila de B × A).
c) ½ B½.
Como B es una matriz de 3x2 no tiene el mismo número de filas que de columnas, no puede plantearse calcular su determinante. Sólo está definido el determinante de una matriz para el caso de matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas).
2.-
a) A × B
Como A Î M2x3 y B ÎM3x4 , es posible efectuar el producto de la matriz de A por B, ya que el número de columnas de la matriz que pre-multiplica, A, coincide con el número de filas de la matriz que post-multiplica, B. El resultado será una matriz de 2x4. Se multiplican mediante el producto escalar de los vectores fila de la matriz A por los vectores columna de la matriz B, colocando el escalar resultante como el elemento de la matriz producto correspondiente a la fila y columna multiplicadas. Es decir, el escalar resultante de multiplicar la segunda fila de A por la tercera columna de B, será el elemento a23 de la matriz A × B , (elemento de tercero de la segunda fila de A×B).
b) B × A no es posible
Aij = (-1)i+j Dij
donde Dij es el determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
Esta vez, se operará entre filas o columnas de la matriz para que la fila o columna escogida contenga el mayor número de ceros posible, y de esta manera se reducirá el número de adjuntos a calcular. Dada la matriz del ejercicio, a la segunda columna se le va a restar la primera multiplicada por dos y a la cuarta columna se le va a restar la primera multiplicada por tres. La matriz resultante tiene el mismo determinante que la matriz original, pero con la ventaja de que el determinante de orden 4 se va a reducir a resolver un determinante en lugar de 4 de orden 3. Así se tiene que:
5.- Para saber si la matriz A admite inversa se calcula el determinante de A, pues en el caso de valer 0, la matriz A no admitirá inversa.
Aij = (-1)i+j Dij
:
La matriz inversa resultante será :
.
Teorema
Dado un sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
se tiene que si:
rg(A) < rg(A*) Þ sistema incompatible
rg(A) = rg(A*) = nº incógnitas Þ sistema compatible determinado
rg(A) = rg(A*) < nº incógnitas Þ sistema compatible indeterminado¨
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
).
Por tanto, el rg(A) = 3.
La matriz ampliada será:
Como A* es una matriz de 3x5 .
:
La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son:
Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán los valores de x1, x2, x3 en función de x4 .
:
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
.
Por tanto, el rg(A) = 3.
La matriz ampliada es:
indeterminado.
La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son :
Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán los valores de x1, x2, x3 en función de x4 .
:
8.-
a)
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
Por tanto, el rg(A) = 3.
La matriz ampliada es
Como máximo su rango será 3 al ser una matriz de 3x4, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)=3. Como rg(A)=rg(A*)=3 , el sistema es un sistema compatible, y como el número de incógnitas, n, es 3, (x1, x2, x3), igual que el rango, el sistema es compatible determinado.
Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer. Matricialmente, al tratarse de un sistema de ecuaciones cuadrado, se tiene que
A x = b Þ x = A-1 b
b)
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
solución.