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La idea y definición de límite, en especial la del límite de funciones reales, es una cuestión matemáticamente delicada. Piénsese que se logro la Idea intuitiva de límite con la definición actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El abordaje de este tema ofrece dificultades de índole técnico-didáctica que hace que la comprensión fina de éste ocurra en etapas sucesivas y posteriores, cuando el estudiante logre una madurez matemática suficiente.
En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los libros españoles estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una variable real a partir de sucesiones de números reales, fue usada en los libros hispánicos hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos simétricos.
Como es bien conocido, a comienzos de los años setenta, triunfo en casi todo el mundo occidental la enseñanza de las llamadas “matemáticas modernas”. Siguiendo los libros españoles las ideas de esta matemática, los conjuntos y las aplicaciones eran los cimientos sobre los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se vieron reflejadas en el tratamiento.
De la Idea intuitiva de el límite: la orientación topológica, no fue casual sino que fue justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de la matemática, Papy y Dieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de conjunto, número real y entorno se utilizaban constantemente.
En la segunda mitad del siglo XX, aproximadamente entre 1967 y 1975, la definición de límite fue evolucionando hasta un mayor formalismo. En algunos libros españoles se enfatizo la definición por sucesiones, aunque también apareció de modo residual la definición topológica que utilizó entornos generales; en cambio en otros textos del mismo país la Idea intuitiva de límite se enfatizó la definición topológica y se quiso conducir progresivamente al alumno a partir de ciertos ejemplos hasta dicha definición.

Las notaciones evolucionaron desde las correspondientes a la definición de límite por sucesiones hasta la definición topológica, adaptándose a cada tipo de definición; y se inicio el uso de la simbología de los cuantificadores. A mediados de la década del setenta, sugerido como una orientación didáctica en los nuevos diseños curriculares españoles, se escribió una definición de límite funcional donde los entornos de la definición topológicos se expresaban como distancias entre puntos, y donde también se utilizaron los símbolos de los cuantificadores. A esta definición se la llamó métrica. Estos diseños curriculares se implementaron en la mayoría de los países del mundo occidental, salvo raras excepciones, y su aceptación fue universal.
Desde 1980 hasta nuestros días, la definición de límite se presenta prioritariamente en forma métrica, aunque también se utilizan las definición por sucesiones y la topológica. La definición métrica la llamamos definición clásica del límite funcional real de una variable real, puesto que ella es la que nos acompaña en casi todos los libros desde 1980 hasta hoy .