Question

1. Soluciones los siguientes ejercicios observando el explicado en la guía.
a. Utilice la siguiente fórmula (x – a)2 + (y – b)2 = r2 para halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 y cuyo centro está en (0,3).
b. Dada la ecuación X2 + Y2 – 4X - 12Y – 180 = 0. Encontrar el valor del centro(a, b) y del radio(r).
Sugerencia: utilice las ecuaciones * , ** y *** para encontrar el valor del centro(a, b) y del radio

Answer 1

Hola :D

Tema: Ecuación de la circunferencia.

Específicamente se trabajará con el centro fuera del origen, donde la fórmula es:

$\boxed{(x-a)^{2} +(y-b)^{2} =r^{2} }$

$a)$ Entonces, ya nos dan el centro, el cual tiene coordenadas $(a,b)$ y radio de $2$ unidades, por lo que sustituimos:

$(x-0)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}\\ \boldsymbol{x^{2} +(y-3)^{2} =4} \Rightarrow \texttt{Forma Canonica}$

A veces se pide la ecuación general, para lo cual debemos expandir al máximo e igualar a $0$, para ello debemos resolver el binomio al cuadrado, para ello recurrimos a:

$\boxed{(x+y)^{2}=x^{2} +2xy+y^{2} }$

Entonces, para nuestro problema:

$x^{2} +\underbrace{y^{2}-6y+9}_{(y-3)^{2} }=4\\ x^{2}+y^{2}-6y+9-4=0\\ \boldsymbol{x^{2} +y^{2}-6y+5=0 }\Rightarrow \texttt{Forma General}$

$b)$ Lo que debemos hacer es pasar de la forma general a la canónica.

Esto se hace con el método de completar el trinomio.

Tenemos:

$x^{2} +y^{2} -4x-12y-180 =0 \to \texttt{agrupamos}\\ (x^{2} -4x)+(y^{2}-12y)-180=0$

Ahora, al coeficiente del término de grado $1$ de las variables se divide entre $2$, para después elevarlo al cuadrado.

$\texttt{Coeficiente de grado 1 para x:}\:-4\\ \Rightarrow (-\dfrac{4}{2})^{2} =4\\ \texttt{Coeficiente de grado 1 para y:}\: -12\\ \Rightarrow (-\dfrac{12}{2})^{2}=36$

Los implementamos como artificio, tanto positivo como negativo:

$(x^{2} -4x+4)+(y^{2}-12y+36)-180-4-36=0\\ (x^{2} -4x+4)+(y^{2}-12y+36)-220=0$

El método se llama completando el trinomio, ya que se puede factorizar a lo siguiente:

$(x-2)^{2}+(y-6)^{2}=220$

Si resolvemos igualando a $0$ obtenemos las coordenadas del centro:

$x-2=0\to x=2\\y-6=0\to y=6\\\boldsymbol{C(2,6)}$

Para el radio tendremos que:

$r^{2}=220 \to r=\sqrt{220} \\ \Rightarrow \boldsymbol{r =14.83\: u}$

Answer 2

Respuesta:

ME SIRVE GMFI Y QUE TE VAYA BINE