que es una notacion de sumatoria en calculo integral
CarlosMath:
Quieres la definición con particiones de un conjunto de puntos?
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales , complejos u objetos matemáticos más complicado si la suma tiene 1 número infinito de términos se conoce como serie infinita
Dada una secuencia
a1+a2+a3+a4+a5
Este se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma
Respuesta dada por:
2
Primero pongamos la definición
![\textbf{D}\textbf{efinici\'on. }\text{La funci\'on }f\text{ se llama integrable (seg\'un Riemman)}\\
\text{sobre el segmento }[a,b]\text{ si existe un n\'umero }A\text{ tal que para cualquier}\\
\text{sucesi\'on de particiones del segmento }[a,b]\\ \\
\tau_n=\{x_i^{(n)}\}_{i=0}^{i=k} \;,\;\;\;n=1,2,\cdots\\ \\
\text{para la cual }\lim\limits_{n\to \infty}\delta_{\tau_n}=0\text{ y para cualquier elecci\'on de puntos }
\\ \\. \textbf{D}\textbf{efinici\'on. }\text{La funci\'on }f\text{ se llama integrable (seg\'un Riemman)}\\
\text{sobre el segmento }[a,b]\text{ si existe un n\'umero }A\text{ tal que para cualquier}\\
\text{sucesi\'on de particiones del segmento }[a,b]\\ \\
\tau_n=\{x_i^{(n)}\}_{i=0}^{i=k} \;,\;\;\;n=1,2,\cdots\\ \\
\text{para la cual }\lim\limits_{n\to \infty}\delta_{\tau_n}=0\text{ y para cualquier elecci\'on de puntos }
\\ \\.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextbf%7BD%7D%5Ctextbf%7Befinici%5C%27on.+%7D%5Ctext%7BLa+funci%5C%27on+%7Df%5Ctext%7B+se+llama+integrable+%28seg%5C%27un+Riemman%29%7D%5C%5C%0A%5Ctext%7Bsobre+el+segmento+%7D%5Ba%2Cb%5D%5Ctext%7B+si+existe+un+n%5C%27umero+%7DA%5Ctext%7B+tal+que+para+cualquier%7D%5C%5C%0A%5Ctext%7Bsucesi%5C%27on+de+particiones+del+segmento+%7D%5Ba%2Cb%5D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctau_n%3D%5C%7Bx_i%5E%7B%28n%29%7D%5C%7D_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bi%3Dk%7D+%5C%3B%2C%5C%3B%5C%3B%5C%3Bn%3D1%2C2%2C%5Ccdots%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctext%7Bpara+la+cual+%7D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D%5Cdelta_%7B%5Ctau_n%7D%3D0%5Ctext%7B+y+para+cualquier+elecci%5C%27on+de+puntos+%7D%0A%0A%5C%5C+%5C%5C.)
![\xi_i^{(n)}\in \left[x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)}\right] \;,\; i=1,2,\cdots,k\;\;,\; n=1,2,\cdots\\ \\
\text{existe el l\'imite de la sucesi\'on de sumas integrales }\\
\sigma_{\tau_n}(f,\xi_1^{(n)},\xi_2^{(n)},\cdots,,\xi_{k_n}^{(n)})\\ \\
\text{y es igual a }A\\ \\
\displaystyle
\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_n}f(\xi_i^{(n)})\Delta x_i^{(n)}=A
\\ \\. \xi_i^{(n)}\in \left[x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)}\right] \;,\; i=1,2,\cdots,k\;\;,\; n=1,2,\cdots\\ \\
\text{existe el l\'imite de la sucesi\'on de sumas integrales }\\
\sigma_{\tau_n}(f,\xi_1^{(n)},\xi_2^{(n)},\cdots,,\xi_{k_n}^{(n)})\\ \\
\text{y es igual a }A\\ \\
\displaystyle
\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_n}f(\xi_i^{(n)})\Delta x_i^{(n)}=A
\\ \\.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cxi_i%5E%7B%28n%29%7D%5Cin+%5Cleft%5Bx_%7Bi-1%7D%5E%7B%28n%29%7D%2Cx_i%5E%7B%28n%29%7D%5Cright%5D+%5C%3B%2C%5C%3B+i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Ck%5C%3B%5C%3B%2C%5C%3B+n%3D1%2C2%2C%5Ccdots%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctext%7Bexiste+el+l%5C%27imite+de+la+sucesi%5C%27on+de+sumas+integrales+%7D%5C%5C%0A%5Csigma_%7B%5Ctau_n%7D%28f%2C%5Cxi_1%5E%7B%28n%29%7D%2C%5Cxi_2%5E%7B%28n%29%7D%2C%5Ccdots%2C%2C%5Cxi_%7Bk_n%7D%5E%7B%28n%29%7D%29%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctext%7By+es+igual+a+%7DA%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cdisplaystyle%0A%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bk_n%7Df%28%5Cxi_i%5E%7B%28n%29%7D%29%5CDelta+x_i%5E%7B%28n%29%7D%3DA%0A%5C%5C+%5C%5C.)
Y aquí viene la respuesta a la pregunta.
Cumpliendo se las condiciones de la definición el número A se llama integral definida de la función f sobre el segmento [a,b]
![\displaystyle
\int_{a}^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_n}f(\xi_i^{(n)})\Delta x_i^{(n)} \displaystyle
\int_{a}^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_n}f(\xi_i^{(n)})\Delta x_i^{(n)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cint_%7Ba%7D%5Ebf%28x%29dx%3D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bk_n%7Df%28%5Cxi_i%5E%7B%28n%29%7D%29%5CDelta+x_i%5E%7B%28n%29%7D)
Y aquí viene la respuesta a la pregunta.
Cumpliendo se las condiciones de la definición el número A se llama integral definida de la función f sobre el segmento [a,b]
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