Question

Urgente, ayuda con este problema de Algebra Lineal

Answer 1

Datos
1) Punto fuera de la recta: $P=(x_0,y_0)$
2) Ecuación de la recta: $Ax+By+C=0$

Solución

Elijamos un punto cualquiera sobre la recta $Q=(x_1,y_1)$, esto es 
                              $Ax_1+By_1+C=0$ ......(*)

Nos serviremos del vector $\vec{v}=Q-P=(x_1-x_0,y_1-y_0)$ para proyectarlo sobre una recta perpendicular a la recta dada, cuyo vector direccional es $\vec w=(A,B)$

$\vec l=\text{proy}_{\vec w}\, \vec v\\ \\ \vec l=\left(\dfrac{\vec v\cdot \vec w}{|\vec w|^2}\right)\cdot \vec w\\ \\ \\ \vec l=\left(\dfrac{(x_1-x_0,y_1-y_0)\cdot(A,B)}{|(A,B)|^2}\right)\cdot (A,B)\\ \\ \\ \vec l=\dfrac{A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\cdot (A,B)$

$\vec l=\dfrac{(Ax_1+By_1)-Ax_0-By_0}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\cdot (A,B)\\ \\ \\ \boxed{\vec l=\dfrac{-C-Ax_0-By_0}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\cdot (A,B)}$

Ahora solo necesitamos la medida del vector $\vec l$

$\left|\,\vec l\,\right|=\left|\dfrac{-C-Ax_0-By_0}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\cdot (A,B)\right|\\ \\ \\ \left|\,\vec l\,\right|=\left|\dfrac{-C-Ax_0-By_0}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\right|\cdot \left|(A,B)\right|\\ \\ \\ \left|\,\vec l\,\right|=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2}\\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\left|\,\vec l\,\right|=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}}}$