Respuestas
Respuesta:
Si la función es positiva en un intervalo \left [ a,b \right ] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
\displaystyle A=\int_{a}^{b}f(x)\, dx
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación.
2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y=9-x^{2} y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
0=9-x^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x_{1}=3\; \; \; x_{2}=-3
Área debajo de una función cuadrática representación gráfica
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x=0 y x=3.
\displaystyle A=\int_{-3}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\int_{0}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\left [ 9x-\cfrac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{3}=36\, u^{2}
2 Calcular el área limitada por la curva xy=36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
Área entre una función racional y el eje de las abscisas representación gráfica ·
\displaystyle\int_{6}^{12}\cfrac{36}{x}\, dx=\left [ 36\ln x \right ]_{6}^{12}=36\ln 2 \, u^{2}
3 Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
\cfrac{x-3}{6-3}=\cfrac{y-0}{3-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=x-3
Ecuación de la recta que pasa por BC:
\cfrac{x-8}{6-8}=\cfrac{y-0}{3-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=-\cfrac{3}{2}\, (x-8)
Área delimitada entre dos rectas y el eje X representación gráfica
\displaystyle A=\int _{3}^{6}(x-3)\, dx+\int_{6}^{8}\left [ -\frac{3}{2}(x-8) \right ]dx
=\left [ \frac{x^{2}}{2}-3x \right ]_{3}^{6}+\left [ -\frac{3}{4}x^{2}+12x \right ]_{6}^{8}
=\left ( 18-18-\frac{9}{2}+9 \right )+\left ( -48+96+27-72 \right )=\frac{15}{2}\, u^{2}
Explicación paso a paso:
spero que te sirva :)