Question

Considerando las siguientes ecuaciones, determina la ecuación canónica de la elipse, estableciendo las coordenadas del centro, vertices, focos, longitudes de los lados rectos el valor de la excentricidad; así como la representación gráfica
A) 9x²+ 4y²- 36x- 8y+ 4=0
B) x²+ 4y²- 6x+ 16y+ 21=0
C) 16x²+ 4y²+ 32x+ 16y- 32=0

Por favor ¡¡Ayudenme!!

Answer 1

Respuesta:

a) 92 + 42 − 36 − 8 + 4 = 0

(92 − 36) + (42 − 8) = −4

9(2 − 4) + 4(2 − 2) = −4

9(2 − 4 + 4) + 4(2 − 2 + 1) = −4 + 36 + 4

9( − 2)2 + 4( − 1)2 = 36

9(−2)2

36 + 4(−1)2

36 = 36

36

(−3)2

4 + (−1)2

9 = 1

Elipse de lado mayor paralelo al eje y

= 3

= 2

= √2 − 2 ; = √32 − 22 ; = √5

Centro: (ℎ, ) ; (3,1)

Vértices: (ℎ, + ) ; (3,4)

(ℎ, − ) ; (3, −2)

Focos: (ℎ, + ) ; (3,2 + √5)

(ℎ, − ) ; (3,2 − √5)

Excentricidad =

; = √5

3

12. Si el eje mayor es paralelo al eje Y (vertical) su ecuación canónica es (−ℎ)2

2 + (−)2

2 = 1

Con el valor de la excentricidad concluimos que = 4 = 5

Por lo tanto = √2 − 2 ; = √52 − 42 ; = 3

Ecuación de la elipse

(−3)

9

2

+ (−3)2

25 = 1

b) 2 + 42 − 6 + 16 + 21 = 0

(2 − 6) + (42 + 16) = −21 Agrupando los términos según X o Y

(2 − 6) + 4(2 + 4) = −21 Factor comun numérico

(2 − 6 + 9) + 4(2 + 4 + 4) = −21 + 9 + 16 Completando los trinomios

( − 3)2 + 4( + 2)2 = 4

(−3)2

4 + 4(+2)2

4 = 4

4

Dividiendo para 4

(−3)2

4 + (+2)2

1 = 1

Elipse de lado mayor paralelo al eje x

= 2 ; = 1 ; = √2 − 2 ; = √22 − 1 ; = √3

Centro: (ℎ, ) ; (3, −2)

Vértices: (ℎ + , ) ; (5, −2)

(ℎ − , ) ; (1, −2)

Focos: (ℎ + , ) ; (5 + √2, −2)

(ℎ − , ) ; (5 − √2, −2)

Excentricidad =

√3

2

Lado recto r = 22

; r = 2(1)2

2 ; r = 2

2 = r = 1

c) 162 + 42 + 32 + 16 − 32 = 0

(162 + 32) + (42 + 16) = 32

16(2 + 2) + 4(2 + 4) = 32

16(2 + 2 + 1) + 4(2 + 4 + 4) = 32 + 16 + 16

16( + 1)2 + 4( + 2)2 = 64

16(+1)2

64

+ 4(+3)2

64 = 64

64

(+1)2

4

+ (+3)2

16

= 1

Elipse de lado mayor paralelo al eje y

= 4

= 2

= √2 − 2

= √42 − 22 ; = √12

Centro: (ℎ, ) ; (−1, −3)

Vértices: (ℎ, + ) ; (−1, +1)

(ℎ, − ) ; (−1, −7)

Focos: (ℎ, + ) ; (−1, −3 + √12)

(ℎ, − ) ; (−1, −3 − √12)

Excentricidad =

; =

√12

4 , =

2√3

4

Lado recto r = 22

; r = 2(2)2

4 ; r = 2