Question

ayuda con esta integral, detallado si es posible porque tengo la respuesta y no se como llegar.$\int\limits^ \pi _0 {8senx^4} \, dx$

Answer 1

$\int _0^{\pi }8\sin ^4\left(x\right)dx$
Sacamos la constante de la integral definida:
$=8\int \sin ^4\left(x\right)dx$
Aplicamos la reducción de integrales:
$=8\left(-\frac{\cos \left(x\right)\sin ^3\left(x\right)}{4}+\frac{3}{4}\int \sin ^2\left(x\right)dx\right)$
Usamos la siguiente identidad:
$\sin ^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$
Por lo que:
$=8\left(-\frac{\cos \left(x\right)\sin ^3\left(x\right)}{4}+\frac{3}{4}\int \frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}dx\right)$
Sacamos la constante y aplicamos la regla de la suma:
$=8\left(-\frac{\cos \left(x\right)\sin ^3\left(x\right)}{4}+\frac{3}{4}\frac{1}{2}\left(\int \:1dx-\int \cos \left(2x\right)dx\right)\right)$
Tomamos:
$\int \:1dx$
Integral de una constante:
$=x$
Aplicamos la integración por sustitución:
$=\int \frac{\cos \left(u\right)}{2}du$
Sacamos la constate y aplicamos la regla de integración:
$=\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)$
Juntamos y simplificamos:
$=8\left(\frac{3}{8}\left(x-\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\right)-\frac{1}{4}\sin ^3\left(x\right)\cos \left(x\right)\right)+C$
Calculamos los limites:
$\lim _{x\to \:0+}\left(8\left(\frac{3}{8}\left(x-\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\right)-\frac{1}{4}\sin ^3\left(x\right)\cos \left(x\right)\right)\right)$
$=0$
y
$\lim _{x\to \:\pi -}\left(8\left(\frac{3}{8}\left(x-\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\right)-\frac{1}{4}\sin ^3\left(x\right)\cos \left(x\right)\right)\right)$
$=3 \pi$
Decimal=9,42