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Marta
2 enero 2020
Temas
Inecuaciones lineales
Ejercicios de inecuaciones lineales
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
\begin{matrix} < & \textup{menor que} & 2x-1<7\\ \\ \leq &\; \; \; \; \; \textup{menor o igual que}\; \; \; \; \; & 2x-1\leq 7\\ \\ > & \textup{mayor que} & 2x-1>7\\ \\ \geq & \textup{mayor o igual que} & 2x-1\geq 7 \end{matrix}
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:
Ejemplos
1 Resolver la ecuación 2x-1<7
2x-1<7
2x<8
x< 4
Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de menos infinito a cuatro
Intervalo: (-\infty ,4)
2 Resolver la ecuación 2x-1\leq 7
2x-1\leq 7
2x\leq 8
x\leq 4
Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de menos infinito a cuatro
Intervalo: (-\infty ,4]
3 Resolver la ecuación 2x-1> 7
2x-1>7
2x>8
x>4
Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de cuatro a infinito
Intervalo: (4,\infty )
4 Resolver la ecuación 2x-1\geq 7
2x-1\geq 7
2x\geq 8
x\geq 4
Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de cuatro a infinito
Intervalo: [4,\infty )
Criterios de equivalencia de inecuaciones
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x+4<5
3x+4-4<5-4
3x<1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x<6
2x\div 2<6\div 2
x<3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
-x<5
-x\cdot (-1)>5\cdot (-1)
x>-5
Inecuaciones lineales
Resolución de inecuaciones lineales
Consideremos la inecuación:
2-\left [ -2\cdot (x+1)-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x
La resolveremos aplicando los siguientes pasos, si son posibles realizarlos:
1 Quitar los signos de agrupación
2-\left [ -2x-2-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x
2+2x+2+\cfrac{x-3}{2}\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x
2 Quitar denominadores.
24+24x+24+6\cdot (x-3)\leq 8x-(5x-3)+36x
24+24x+24+x-18\leq 8x-5x+3+36x
3 Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18
4 Efectuar las operaciones
-9x\leq -27
5 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por -1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
9x\geq 27
6 Despejamos la incógnita.
x\geq 3
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla
De forma gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de tres a infinito
Como un intervalo: [3,\infty )
Ejercicios de inecuaciones lineales
1 2(x+1)-3(x-2)<x+6
2(x+1)-3(x-2)<x+6
2x+2-3x+6<x+6
2x-3x-x<-2-6+6
-2x<-2
x>1
Representación gráfica del intervalo abierto de uno a infinito
(1,-\infty )
2 \cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}
\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}
Multiplicamos ambos miembros por el mcm de los denominadores
\textup{mcm}(7,3,14,6)=42
42\cdot \left (\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3} \right )\geq \left (\cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6} \right )\cdot 42
6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x
18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x