una escalera con una masa de 15kg descansa contra una pared lisa un hombre con una masa de 78kg esta parado en la escalera como se muestra en la figura. Que fuerza de fricción debe actuar sobre la base de la escalera para no resbalar.
Respuestas
Respuesta:
Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares por la que sube una persona.
Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Un hombre de masa M sube por la escalera hasta un peldaño situado a una distancia d del extremo inferior de la escalera, vamos a estudiar el comportamiento del sistema formado por la escalera supuesta una varilla homogénea y el hombre supuesto una masa puntual.
Estática
Las fuerzas sobre la escalera son las que se dibujan en la figura.
Fx es la reacción de la pared vertical supuesta lisa (sin rozamiento)
N es la fuerza que ejerce la pared horizontal
mg es el peso que actúa en el centro de masas de la escalera
Mg es el peso del hombre.
Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el extremo inferior de la escalera deslice
Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:
La resultante de la fuerzas debe ser cero.
El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.
Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que sujeta el extremo inferior de la escalera.
A medida asciende el hombre por los peldaños de la escalera, se incrementa d, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando
Fr=μsN= μs(mg+Mg)
Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento
El valor máximo del desplazamiento dm del hombre a lo largo de la escalera es
Dinámica
La posición del centro de masas del sistema formado por el hombre y la escalera se encuentra a una distancia xc medida desde el extremo inferior de la escalera
Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masas
La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs
El movimiento de la escalera consta de dos etapas:
1.- El extremo superior de la barra permanece en contacto con la pared vertical
Movimiento de traslación del cm.
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.
Introducimos N, Fx en la ecuación de la dinámica de rotación. Obtenemos la ecuación diferencial
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0.
Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1.
La velocidad horizontal del centro de masas es
2.- El extremo superior de la barra deja de estar en contacto con la pared vertical
Las ecuaciones del movimiento son
Movimiento de traslación del centro de masas
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
La ordenada y del centro de masas es
Derivamos dos veces respecto del tiempo
Despejamos la reacción N
Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m.
Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. y la velocidad horizontal del centro de masas es
Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2
Actividades
Se introduce
El ángulo θ que forma la escalera con la vertical, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo
El coeficiente estático de rozamiento μs, actuando en la barra de desplazamiento titulada C. estático.
El coeficiente cinético de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada C. cinético
La masa del hombre M en kg, en el control de edición titulado Masa
Se han fijado la longitud de la escalera en L=10 m y la masa m=10 kg
Se pulsa el botón titulado Empieza
La escalera permanece en equilibrio
En caso contrario, observamos el movimiento del sistema formado por la escalera y una masa puntual y las fuerzas sobre la misma
Explicación:
Corona plis