Question

calcular el area limitada por las curva y=x2 ; x=y2

Answer 1

Hola :) ,

El área limitada entre dos curvas generalmente se hace mediante la integral entre los límites donde se intersectan.Algo importante y útil cuando uno empieza a hacer estos ejercicios es ver la gráfica de las funciones, como verás son 2 parábolas una centrada en el eje x y la otra en el eje y, y realizas la gráfica observarás tienen una área en común, te darás cuenta que los límites es de 0 a 1, en forma algebraica es así :

y = x²
x = y²  => |√x| = y

Igualando "y" :
x² = |√x| / ²

$x^{4} - x = 0 \\ x^{3}(x-1) = 0 \\ x_{1} = 1 \\ x_{2,3,4} = 0$

Generalmente para el cálculo de áreas entre funciones :

$A = \int\limits^a_b {(g(x) - f(x))} \, dx$

g(x) es la función que va por encima de f(x) , si observas la gráfica , x=y² es esa función, hay que dejar todo en función de x por lo tanto , y(x) = √x ( se descarta -√x ya que los límites de integración están en un dominio positivo x>0),

Luego el área es :

$A = \int\limits^0_1 {( \sqrt{x} - x^{2})} \, dx \\ \\ A = (2\frac{x^{ \frac{3}{2}} }{3} - \frac{x^{3}}{3})|_{0}^{1} \\ \\ \boxed{A = \frac{1}{3}}$

Saludos :)