Question

encontrar la ecuacion de la resta que pasa por los puntos A= (2,3) B= (6,5)​

Answer 1

Tenemos dos puntos que forman una recta, para hallar la ecuación de la recta debemos, en primer lugar, obtener el vector formado por ambos puntos, que será nuestro vector director$\overrightarrow{v}$:

$A = (2, 3)\\B = (6, 5)\\ \overrightarrow{AB} = (4, 2) = \overrightarrow{v}$

Para hallar una recta necesitamos un punto que se encuentre en la recta y el vector director, cosas que ya tenemos:

Usamos $A$ como punto y $\overrightarrow{v}$ como vector:

Vectorial

Sabiendo que la ecuación vectorial sigue la siguiente fórmula general:

$(x,y)=P+\lambda \overrightarrow{v}$

$P$ es un punto que se encuentre en la recta y $\overrightarrow{v}$ será nuestro vector director. Usamos el punto $A=(2,3)$ como P y $\overrightarrow{v} = (4, 2)$ como vector:

$r: (x,y)= (2, 3)+\lambda(4, 2)$

Paramétrica

Sigue la ecuación general de la expresión paramétrica:

$\left \{ {{x=x_0+\lambda v_1} \atop {y=y_0+\lambda v_2}} \right.$

En la que $x_0$ y $y_0$ son las coordenadas de un punto $P=(x_0,y_0)$ que se encuentra en la recta que nos piden. En cuanto a $v_1$ y $v_2$, son las componentes de nuestro vector director. Sustituye, sabiendo que el punto es $A$ y el vector $\overrightarrow{v}$.

$r:\left \{ {{x=2+4\lambda } \atop {y=3+2\lambda }} \right.$

Contínua

Expresamos como fracciones (lo que se consigue despejando $\lambda$ en la ecuación paramétrica), cambiamos de signo a las coordenadas del puntos que ya escribimos en la paramétrica ($x_0$ y $y_0$, observa el signo negativo delante de ellos en la fórmula) y colocamos las componentes del vector director en el denominador, siguiendo la siguiente ecuación:

$r:\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}$

Obtenemos:

$r:\frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{2}$

Explícita

La ecuación explícita sigue la ecuación general siguiente:

$y=mx+b$

Siendo $m$ la pendiente y $b$ la ordenada en el origen. Sabemos que

$m=\frac{v_2}{v_1}$

Donde $v_1$ y $v_2$ son las componentes del vector director, nuestro $\overrightarrow{v}$, tendríamos que:

$m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Ahora sustituimos el punto $A=(2,3)$ en la ecuación general de la forma explícita y resolvemos el valor de la ordenada en el origen:

$y=mx+b$ ⇒ $3=\frac{1}{2}2+b$ ⇒$b=3-1=2$

Por tanto, la ecuación explícita de esta recta es: $y=\frac{1}{2}x+2$

Otra forma de obtener la ecuación explícita de una recta es despejando la ecuación continua directamente:

$r:\frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{2}$ ⇒ $2(x-2)=4(y-3)$ ⇒ $2x-4=4y-12$ ⇒ $y=\frac{2x-4+12}{4}$ ⇒ $y=\frac{2x+8}{4}=\frac{1}{2}x+2$

Implícita

Agrupas todos los términos de la ecuación explícita en un lado de la ecuación:

$r:\frac{1}{2}x-y+2=0$

Si despejamos y agrupamos todo a partir de la continua verás que sale lo mismo:

$r:\frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{2}$ ⇒ $2(x-2)=4(y-3)$ ⇒ $2x-4=4y-12$ ⇒ $2x-4y-4+12=0$ ⇒ $2x-4y+8=0$ ⇒ $\frac{1}{2}x-y+2=0$

Espero haber sido de ayuda, saludos.