Es verdadero o falso que ¿el movimiento de un péndulo simple es M.A.S. para cualquier desplazamiento angular inicial? Explique. ¿Es siempre periódico?
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Respuesta:
En el capítulo de Sólido rígido estudiamos las oscilaciones pequeñas de un péndulo compuesto. En esta página, vamos a estudiar el comportamiento general de un péndulo, para pequeñas y grandes amplitudes, e incluso cuando el péndulo da vueltas.
La ecuación diferencial que describe el comportamiento del péndulo compuesto es
(1)
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq »q . El péndulo describe un M.A.S. cuyo periodo P0 es
El periodo del péndulo
Supongamos que el péndulo está en la posición de equilibrio estable, y le proporcionamos una energía E.
El péndulo adquiere una velocidad inicial w0. A medida que se desplaza un ángulo q la energía cinética de rotación se convierte en energía potencial, hasta que alcanza una desviación máxima q0 cuando w =0. Luego, se realiza el proceso inverso, la energía potencial se convierte en energía cinética de rotación, hasta que al pasar de nuevo por la posición de equilibrio q =0, toda la energía potencial se ha convertido en cinética, la velocidad angular del péndulo será -w0. A continuación, el péndulo alcanza de nuevo la desviación máxima -q0, y finalmente, regresa a la posición de equilibrio estable completándose la oscilación.
pendulo1.gif (2039 bytes) El principio de conservación de la energía establece que la suma de la energía cinética de rotación del péndulo más potencial es constante. La energía potencial del centro de masa del sólido rígido tal como vemos en la figura vale
mgh=mgb(1-cosq ).
b es la distancia entre el centro de masa (c.m.) y el eje de rotación O del sólido rígido
Cuando el péndulo alcanza la máxima desviación w=0, y E=mgb(1-cosq0)
Despejando el tiempo dt en la ecuación diferencial
Sustituyendo
resulta
Integramos
Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima q =q0 o bien, cuando j =p /2, ha empleado un cuarto del periodo P de la oscilación completa.
El periodo P de una oscilación lo podemos escribir