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Respuesta:
La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, incluida la física. Vamos a estudiarla a través de los siguientes puntos:
Concepto:
Ya sabes que la tasa de variación instantánea de f(x) en un punto a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en ese punto. A esa tasa de variación instantánea de f(x) en el punto también se le llama derivada de la función en el punto, y se denota habitualmente f'(a). Así, pues:
T.V.I.(a) =f'(a)=limh→0 f(a+h)−f(a)h.
Vamos ahora a tratar de generalizar esta idea para cualquier x, y no solo para el punto a. Pensemos en una función concreta, por ejemplo f(x) = x2. Podemos confeccionar la siguiente tabla:
x T.V.I.(x)=f'(x)
-2
f'(−2) =limh→0 f(−2+h)−f(−2)h=−4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
Como ves, a partir de f(x) hemos desarrollado otra función con el valor de la tasa de variación instantánea de f en cada abscisa x y la hemos llamado f'(x). Bueno... realmente solo tenemos los valores de f'(x) en algunas abscisas (x=-2, x=-1, x=0, x=1 y x=2). Si somos capaces encontrar la expresión de la función que pase por esos puntos, habremos encontrado la función derivada de f para cualquier x (y no solo para a).
1.-En rojo, la gráfica de la función f(x)=x2. Los puntos azules representan el valor de la derivada de f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos decir que la función derivada de f(x) es f'(x)=2·x.
Se llama función derivada de f(x), o simplemente derivada de f, y se denota normalmente como f'(x), al límite.
f'(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h.
Calcular:
1P(x) + Q (x) = = (4x2 - 1) + ( x3 - 3x2 + 6x - 2) = = x3 - 3x2 + 4x2+ 6x - 2 - 1 = = x3 + x2+ 6x - 3 2P(x) - U (x) = = (4x2 - 1) - (x2 + 2) = = 4x2 - 1 - x2 - 2 = = 3x2 - 3 3P(x) + R (x) = = (4x2 - 1) + (6x2 + x + 1) = = 4x2 + 6x2 + x - 1 + 1 = = 10x2 + x 42P(x) - R (x) = = 2(4x2 - 1) - (6x2 + x + 1) = = 8x2 - 2 - 6x2 - x - 1 = = 2x2 - x - 3 5S(x) + R (x) + U(x) = = (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = = 3x2 + 11 6S(x) - R (x) + U(x) = = (1/2 x2 + 4 ) - (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 4 - 3/2 x2 - 5 + x2 + 2 = = 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x4 -2x2 - 6x - 1 Q(x) = x3 - 6x2 + 4 R(x) = 2x4 -2 x - 2
Calcular:
P(x) + Q(x) - R(x) = = (x4 -2x2 - 6x - 1) + (x3 - 6x2 + 4) - ( 2x4 -2 x - 2) = = x4 -2x2 - 6x - 1 + x3 - 6x2 + 4 - 2x4 + 2 x + 2 = = x4 - 2x4 + x3 -2x2 - 6x2 - 6x + 2 x - 1 + 4 + 2 = = -x4 + x3 - 8x2 - 4x + 5 P(x) + 2 Q(x) - R(x) = =(x4 -2x2 - 6x - 1) + 2(x3 - 6x2 + 4) - ( 2x4 -2 x - 2) = = x4 -2x2 - 6x - 1 +2x3 - 12x2 + 8 - 2x4 + 2 x + 2 = = x4 - 2x4 + 2x3 -2x2 - 12x2 - 6x + 2 x - 1 + 8 + 2 = = -x4 + 2x3- 14x2 - 4x + 9 Q(x)+ R(x) - P(x)= = (x3 - 6x2 + 4) + ( 2x4 -2 x - 2) - (x4 -2x2 - 6x - 1) = = x3 - 6x2 + 4 + 2x4 -2 x - 2 - x4 +2x2 + 6x + 1= = 2x4 - x4 + x3 - 6x2 +2x2 -2 x + 6x + 4- 2 + 1= = x4 + x3 - 4x2 + 4x + 3 1(x4 -2x2 +2 ) · (x2 -2x +3) = = x 6 -2x5 + 3x4 - 2x4 + 4x3 - 6x2 + 2x2- 4x +6= = x 6 -2x5 - 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 - 6x2 - 4x +6 = = x 6 -2x5 + x4 + 4x3 - 4x2 - 4x + 6 2 (3x2 - 5x ) · (2x3 + 4x2 - x +2) = = 6x5 + 12x4 - 3x3 + 6x2 - 10x4 - 20x3 + 5x2 - 10x = = 6x5 + 12x4 - 10x4 - 3x3 - 20x3 + 6x2 + 5x2 - 10x = = 6x5 + 2x4 - 23x3 + 11x2 - 10x 3 (2x2 - 5x + 6) · (3x4 - 5 x3 - 6 x2 + 4x - 3) = = 6x6 - 10x5 - 12 x4 + 8x3 - 6 x2 - - 15x5 + 25x4 + 30x3 - 20x2+ 15x + +18x4 - 30x3 - 36x2 + 24x - 18 = = 6x6 - 10x5 - 15x5 - 12 x4 + 25x4 + 18x4 + +8x3 - 30x3 + 30x3- 6 x2- 20x2 - 36x2 + 15x + 24x - 18 = = 6x6 - 25x5 + 31x4 + 8x3 - 62x2 + 39x - 18
3Dividir los polinomios:
1(x4 - 2x3 -11x2+ 30x -20) : (x2 + 3x -2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 - 2x) : (x2 - x + 3)
3 P(x) = 2x5 + 2x3 -x - 8 Q(x) = 3x2 -2 x + 1
1 (x3 + 2x +70) : (x+4)
2(x5 - 32) : (x - 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0 3 (x4 -3x2 +2 )
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2
