Question

Ayúdenme porfavor los que sepan, necesito su solución.​

Answer 1

PROBLEMAS  CON  TRIÁNGULOS  POR  ÁLGEBRA

Ante todo hay que fijarse que si nos habla de "hipotenusa" ya debemos deducir que estamos ante un triángulo rectángulo.

Adjunto figuras idénticas colocadas en posiciones diferentes:

• Fig. 1  ⇒  la base del triángulo es la hipotenusa
• Fig. 2  ⇒  la base del triángulo es el cateto menor

Aplico el teorema de Pitágoras para construir una ecuación y obtener el valor de "a".

$H^2=C^2+c^2\ ...\ sustituyo\ valores\ ... \\ \\ (a+14)^2=(a+7)^2+a^2\\ \\ a^2+28a+ 196=a^2+14a+49+a^2\\ \\ a^2-14a-147=0\\ \\ ...\ por\ f\'ormula\ general\ ec.\ cuadr\'aticas\ ...\\\\ a_1=\dfrac{14+28}{2} =21$

Desecharé la segunda raíz o solución de esta ecuación por salir negativa.

Tenemos pues que el valor de "a" es 21 m.

Con ese dato ya podemos saber el valor numérico de los tres lados:

• Cateto menor = a = 21 m.
• Cateto mayor = a+7 = 21+7 = 28 m.
• Hipotenusa = a+14 = 21+14 = 35 m.

Tomando como referencia ahora la fig. 2, se puede calcular fácilmente el área del triángulo ya que la base será el cateto menor y la altura será el cateto mayor.

$A=\dfrac{Base*Altura}{2} =\dfrac{21*28}{2}=294\ m^2$

A continuación hay que calcular la altura relativa a la hipotenusa y para ello me vuelvo a fijar en la fig. 1  y las proyecciones "m" y "n" de los catetos (anotados en color verde)  sobre la hipotenusa,

donde aplicaré primero el teorema del cateto que dice que en cualquier triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.

Tomando el cateto "a" se cumple que:  $\dfrac{c}{a} =\dfrac{a}{n}$

"n" es la proyección del cateto "a" sobre la hipotenusa.

Sustituyo datos conocidos:

$\dfrac{35}{21} =\dfrac{21}{n}\\ \\ \\ n=\dfrac{21^2}{35} =\dfrac{441}{35} =12,6\ m.$

Conocida una proyección, restando de lo que mide la hipotenusa que es la suma de (m+n) se obtiene la medida de la otra proyección "m".

m = 35 - 12,6 = 22,4 m.

Finalmente se acude al teorema de la altura la cual es media proporcional entre las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y se expresa así:  $\dfrac{m}{h} =\dfrac{h}{n}$

Despejo "h"...  

$h^2=m*n\\ \\ h=\sqrt{m*n}=\sqrt{22,4*12,6}=16,8\ m.$

La relación pedida es el cociente entre ambas cantidades así que solo hay que escribirlo y ver si hay modo de simplificar dicha fracción:

Relación (área/altura sobre h) = 294/16,8

Si multiplicamos numerador y denominador por 10 para eliminar decimales en el denominador y luego dividimos por su máximo común divisor, llegaremos a la fracción que nos da la solución.

Calculo el mcd de 2940 y 168 descomponiendo en sus factores primos:

• 2940 = 2² × 3 × 5 × 7²
• 168 = 2³ × 3 × 7

m.c.d. = 2² × 3 × 7 = 84

Al dividir numerador y denominador entre ese número tengo:

$\dfrac{2940:84}{168:84}= \boxed{\boxed{\dfrac{35}{2}}}$

Y de las opciones que nos da el ejercicio la que más se acerca pero no coincide es la b) así que es posible que yo me haya equivocado en alguna operación y también es posible que haya una errata en esa opción y en lugar de 39 en el numerador debiera poner 35.

En cualquier caso, este procedimiento es totalmente válido.

Saludos.