Question

un auto nuevo de cierta marca se deprecia 800 dólares por año. Si dicho auto después de 5 años tiene un precio de 12 000 dólares, determinar una función que describa su valor, si “x” es la antigüedad del auto en años

Answer 1

PROGRESIONES  ARITMÉTICAS

Este problema se resuelve usando las fórmulas de una progresión aritmética (PA) la cual se caracteriza porque la sucesión de términos se forma a partir de sumar algebraicamente una cantidad fija al valor de cada término para obtener el valor del término siguiente.  Esa cantidad es la que llamamos DIFERENCIA  "d".

Así pues, en este ejercicio podemos extrapolar los datos para ubicarlos como datos de una PA.

El valor del auto nuevo no lo sabemos ya que nos facilita el valor del auto después de 5 años así que ese valor (12.000) será el que tiene el término que ocupe la posición 5ª en la PA y lo represento como  a₅

La depreciación anual, o sea, el valor que pierde cada año es 800 dólares así que esta es la DIFERENCIA "d" con la que vamos obteniendo los distintos valores de los términos. Como hablamos de pérdida de valor, la diferencia la expresamos con signo negativo:   d = -800

El número de años del cual tenemos referencia son los 5 años en que nos dice que ha quedado el valor del auto y ese valor suele representarse como "n" que es siempre el número de términos de la PA y que aplicado a este ejercicio sería la antigüedad del auto en años y que pide que se llame "x" así que al aplicar las fórmulas usaremos "x" en lugar de "n".

La fórmula para representar el término general de cualquier PA es:

$a_n=a_1+(n-1)*d$

... donde  a₁  es el valor del primer término de la PA que en nuestro caso desconocemos porque nos da el valor del término quinto  a₅ = 12000

Anotaré ahora la fórmula anterior usando "x" y sustituiré los valores conocidos para despejar  a₁   y obtener el valor del coche nuevo dando el valor 5 a "x" puesto que representa la antigüedad del coche en años.

$a_x=a_1+(x-1)*d\\ \\ a_5=12000\\ \\ 12000=a_1+(5-1)*(-800)\ ...\ despejo\ \ a_1\ ...\\ \\ a_1=12000+3200=15200$

Con esto he calculado el valor de compra del coche cuando era nuevo que es de 15.200 dólares.

Sabido el valor del primer término  a₁  vuelvo a usar la misma fórmula pero esta vez no sustituyo "x" por ningún valor ya que el ejercicio nos pide la función, o sea, el término general de esta PA que nos valdrá para saber el valor del coche dando cualquier valor a "x", es decir, para saber su valor según los años que queramos que tenga el coche.

$a_x=15200+(x-1)*(-800)\\ \\ a_x=15200+(-800x)+800\\ \\ \boxed{\boxed{a_x=16000-800x}}$

Esa es la función que nos pide.

Dando cualquier valor a "x" que representará los años pasados desde que el coche se compró nuevo, y sustituyendo en esa fórmula, sabremos el valor que tendrá el coche después de esos años.

Saludos.