En una investigación científica, una población de células crece exponencialmente. Si después de un día hay 300 células y al segundo día 900.
a) ¿Cuántas células habrá en 4 días?
b) ¿En qué día habrán 1’968.300 células?
Respuestas
Explicación paso a paso:
Se resuelve con progresiones geométricas donde cada término se obtiene a partir de multiplicar el término anterior por un número fijo e invariable llamado razón "r".
En este caso
Valor del 3º término a₃ = 300
Valor del 6º término a₆ = 900
Con eso podemos obtener el valor de la razón "r" de esta PG recurriendo a una fórmula donde necesitamos saber el valor de dos términos cualquiera y no necesariamente consecutivos, como en este caso.
Es lo que llamamos INTERPOLACIÓN de términos en una PG.
Para esto hay que ver que desde el 3º hasta el 6º término tenemos dos términos a interpolar: el 4º y el 5º, y ese número de términos a interpolar lo llamaré "m=2".
También designaré como "a=300" al valor del 3º término y como "b=900" al valor del 6º término.
Con ello ya tengo los datos para aplicar la siguiente fórmula que me dirá la razón de esa pG
r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} } =\sqrt[2+1]{\dfrac{900}{300}} =\sqrt[3]{3}r=
m+1
a
b
=
2+1
300
900
=
3
3
Conocida la razón se usa la fórmula del término general de cualquier PG para saber el valor del primer término a₁ donde usaremos el valor del tercer término aₙ = a₃ = 300
La fórmula dice: a_n=a_1*r^{n-1}a
n
=a
1
∗r
n−1
despejo a₁ ...
a_1=\dfrac{a_3}{r^{n-1} } =\dfrac{300}{(\sqrt[3]{3}) ^{3-1} }=\dfrac{300}{(\sqrt[3]{3}) ^{3-1}}=\dfrac{300}{\sqrt[3]{9} }=144\ ...\ (desestimo\ decimales)a
1
=
r
n−1
a
3
=
(
3
3
)
3−1
300
=
(
3
3
)
3−1
300
=
3
9
300
=144 ... (desestimo decimales)
Conocido el valor de a₁ se usa la misma fórmula para saber el valor del doceavo término que es lo que nos pide el ejercicio:
a_{12}=144*(\sqrt[3]{3}) ^{12-1}=7.950\ c\'elulas
En 12 días habrá aproximadamente 7.950 células