Cuál es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si el cateto adyacente es igual a 55 centímetros y el ángulo se forma entre el cateto adyacente y la hipotenusa es igual a 60°
Respuestas
La longitud de la hipotenusa es de 110 centímetros
Procedimiento:
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.
¿Qué son los triángulos notables?
Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.
Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.
Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.
Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.
Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.
Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.
- El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos
- Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k - o el doble de lo que mida el primer lado, es decir, el cateto adyacente al ángulo de 60°- . En donde k es siempre una constante.
Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.
Solución:
Por lo antedicho no haremos uso de las razones trigonométricas para resolver este ejercicio, dado que no es necesario.
Haremos uso de las proporciones entre los lados y los ángulos de un triángulo notable
Hallando el valor de la constante k
La longitud del cateto adyacente al ángulo notable de 60° es de 55 centímetros
Por lo tanto al ser el cateto adyacente del ángulo notable de 60° medirá 1k
Planteamos
Donde despejaremos a la constante k
El valor de la constante k es de 55
Al ser este un triángulo notable 30°- 60° la hipotenusa medirá 2k. O lo que es lo mismo, el doble de lo que mida el cateto adyacente al ángulo notable de 60°
Planteamos
Reemplazamos el valor de la constante k
La longitud de la hipotenusa es de 110 centímetros
Nota: Si se desea resolver el problema empleando razones trigonométricas, se puede encontrar en el archivo adjunto
