Question

la torre de pizza tiene 57 metros de altura y un grado de inclinación hacia el oriente de 4 grados respecto a la vertical si el sol se encuentra hacia el occidente en 32 grados de la horizontal,¿cual al es la longitud que proyecta la sombra en ese instante?

ley del seno y del coseno

Answer 1

La longitud de la sombra proyectada por la torre de Pisa es de aproximadamente 94.97 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura de la torre inclinada de Pisa, el lado AC (b) que equivale a la longitud de la sombra que proyecta la torre de Pisa sobre la línea del suelo  y el lado AB (c) que es la proyección visual con un ángulo de elevación al sol de 32°      

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo acutángulo ABC

Denotamos al ángulo de elevación al sol dado por enunciado de 32° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 32^o }}$

Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ  - para conocer la inclinación de la Torre de Pisa-

Donde sabemos que la torre tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 4° respecto a la vertical

Sucede que la torre con tal inclinación se aleja 4° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Por tanto:

Si la torre de Pisa no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse la torre en el sentido horario debemos restar la inclinación de 4° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°

Teniendo

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 4^o = 86^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β

Dado que la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 32^o+ 86^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 32^o- 86^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 62 ^o }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculamos la longitud de la sombra proyectada por la torre de Pisa

Hallando el valor del lado AC (b)

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 57 \ metros }{ sen(32^o ) } = \frac{ b }{sen(62 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 57 \ metros \ . \ sen(62^o ) }{sen(32^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 57 \ metros \ . \ 0.882947592859 }{0.52991926433 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 50.328012792963 }{0.52991926433 } \ m}}$

$\boxed { \bold { b\approx 94.972982 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 94.97 \ metros }}$

La longitud de la sombra que proyecta la torre de Pisa es de aproximadamente 94.97 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas