Se debe de construir una cisterna de base cuadrada y las paredes deben ser rectangulares, el cual no tendrá tapa, cuya capacidad de almacenamiento debe ser de cuatro metros cúbicos. El concreto con el que se construirá tiene un costo de $10.00 por metro cuadrado. ¿Qué tamaño del tanque minimiza el costo del material?
Respuestas
Respuesta dada por:
8
Supongo que el material también se necesita para el fondo.
El costo será mínimo cuando la superficie sea mínima
Sea x el lado de la base e y la altura.
El volumen será V = x² y = 4 (omito las unidades)
La superficie total de la cisterna es:
S = x² + 4 x y; de la expresión del volumen: y = 4 / x²
Por lo tanto S = x² + 16 / x
Derivamos: S' = 2 x - 16 / x² = 0 (condición de máximo o mínimo)
Derivamos por segunda vez S'' = 2 + 32 / x³
Siendo x positivo, la segunda derivada es positiva, condición de mínimo
Resolvemos S' = 0: resulta x³ - 8 = 0; por lo tanto x = 2 m
Para x = 2 m, y = 1 m
La superficie es entonces: S = 2² + 4 . 2 . 1 = 12 m²
El costo del material es C = $10,00 / m² . 12 m² = $ 120,00
Adjunto gráfico que representa la superficie
Saludos Herminio
El costo será mínimo cuando la superficie sea mínima
Sea x el lado de la base e y la altura.
El volumen será V = x² y = 4 (omito las unidades)
La superficie total de la cisterna es:
S = x² + 4 x y; de la expresión del volumen: y = 4 / x²
Por lo tanto S = x² + 16 / x
Derivamos: S' = 2 x - 16 / x² = 0 (condición de máximo o mínimo)
Derivamos por segunda vez S'' = 2 + 32 / x³
Siendo x positivo, la segunda derivada es positiva, condición de mínimo
Resolvemos S' = 0: resulta x³ - 8 = 0; por lo tanto x = 2 m
Para x = 2 m, y = 1 m
La superficie es entonces: S = 2² + 4 . 2 . 1 = 12 m²
El costo del material es C = $10,00 / m² . 12 m² = $ 120,00
Adjunto gráfico que representa la superficie
Saludos Herminio
Adjuntos:
chivisimo33:
Gracias Herminio me salvaste
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años