En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor , excede en una unidad al cateto mayor , pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa , ¿ Cuál es la longitud del cateto mayor ?
Respuestas
Respuesta:
el cateto mayor mide 35 unidades
Explicación paso a paso:
3b = a + 1
a = 3b -1
3b = h - 1
h = 3b + 1
el teorema de Pitágoras nos dice:
a^2 + b^2 = h^2
(3b - 1)^2 + b^2 = (3b + 1)^2
desarrollamos los binomios cuadrados:
9b^2 - 6b + 1 + b^2 = 9b^2 + 6b + 1
b^2 - 12b = 0
b(b - 12) = 0
las soluciones son b = 0 y b = 12, así que el cateto menor b = 12, sustituimos en la ecuación original:
a = 3b -1 = 3(12) - 1
a = 35
Decimos que, la longitud del cateto mayor es de 35 unidades.
A continuación se explicará por qué:
Planteamiento y análisis del problema
3b = a + 1 -> el triple del cateto menor excede en una unidad al cateto mayor.
Despejando, tenemos:
a = 3b -1
3b = h - 1
h = 3b + 1 -> al triple del cateto menor le falta una unidad para ser igual que la hipotenusa.
Según el Teorema de Pitágoras, sabemos que:
a^2 + b^2 = h^2
por lo tanto, si sustituimos nuestros valores, obtenemos:
(3b - 1)^2 + b^2 = (3b + 1)^2
desarrollando los binomios al cuadrado:
9b^2 - 6b + 1 + b^2 = 9b^2 + 6b + 1
b^2 - 12b = 0
b(b - 12) = 0
del cual obtenemos como soluciones a:
- b = 0 y
- b = 12
y por lógica, tenemos que el cateto menor b = 12, entonces lo sustituimos en la ecuación original:
a = 3b -1 = 3(12) - 1
a = 35
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