Question

Compra de arbolitos Una empresa que practica la responsabilidad social, destinó S/ 4800 para la compra de cierta cantidad de arbolitos a ser sembrados en todos los parques del distrito donde efectúa sus actividades. En la compra, dicha empresa consiguió una oferta, pagando 2 soles menos por cada arbolito, lo que hizo que se compraran 200 arbolitos más con la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos arbolitos se logró comprar?

Answer 1

La empresa logra comprar 800 arbolitos

Procedimiento:

Una empresa destina para la compra de determinada cantidad de arbolitos un monto de $ 4800. Consiguiendo una oferta donde se pagan $2 menos por cada árbol lo que hizo que se compraran 200 arbolitos más con la misma cantidad de dinero.

Desconocemos el número de árboles al que llamaremos variable x, donde tampoco conocemos el precio de cada arbolito donde llamaremos a esta variable y

El hecho que haya un precio sin oferta y un precio con oferta, genera dos situaciones diferentes, las cuales resumimos en una tabla para facilitar el planteo del problema

Donde el monto que invierte la empresa en la compra es el mismo

$\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \textbf{} & \bf {N\° \'Arboles \ a \ Comprar} & \bf { \ Precio \ C/ \ \'Arbol} \\\cline{1-3} \textbf{Precio Original} & \bf x &\bf y \\\cline{1-3} \textbf{Precio Con\ Oferta } & \bf(x+200) & \bf(y-2) \\\cline{1-3} \end{array}$

$\begin{flushleft} \Large \textbf \texr\underline {Donde\ el monto destinado para la compra es de \ \ 4800}}\end{flushright}$

Primera situación

Con el precio original

Planteamos una ecuación, donde a la cantidad de arbolitos (x) multiplicada por el precio unitario de cada árbol (y) la igualamos al monto destinado para la compra

$\boxed { \bold {x \ . \ y = 4800 }}$    $\textsf{Primera Ecuaci\'on}$    

Segunda situación

Con el precio de oferta

Planteamos una segunda ecuación donde la empresa consigue pagar $ 2 menos por cada arbolito y obtiene 200 árboles más por la compra y la igualamos al monto que se destina para la compra

$\boxed { \bold {(x+200) \ . \ ( y-2) = 4800 }}$    $\textsf{Segunda Ecuaci\'on}$

$\texts \bf{Expandimos \ la \ segunda \ ecuaci\'on }$

$\boxed { \bold {xy +200y-2x - 400 = 4800 }}$

$\textsf{Reemplazamos \ a} \ \ \boxed { \bold {x y = 4800 }}$  $\textsf{Primera Ecuaci\'on}$

$\boxed { \bold {4800 +200y-2x - 400 = 4800 }}$

$\boxed { \bold {4800 +200y-2x - 400 - 4800 = 0 }}$

$\boxed { \bold { 200y-2x - 400 = 0 }}$

$\texts \bf{Simplificamos \ dividiendo \ entre \ dos }$

$\boxed { \bold { 100y-x - 200 = 0 }}$

$\textsf{Si} \ \ \boxed { \bold {x \ . \ y = 4800 \ \ \ \ \to\ y=\frac{4800}{x} }}$

$\texts \bf{Donde \ reemplazamos \ a \ y \ para \ resolver \ para \ x }$

$\boxed { \bold { 100\left(\frac{4800} {x}\right) -x - 200 = 0 }}$

$\boxed { \bold { \frac{480000} {x} -x - 200 = 0 }}$

$\texts \bf{Multiplicamos\ los \ t\'erminos \ por \ x \ para \ quitar \ el \ denominador }$

$\boxed { \bold {\left( \frac{480000} {x}\right)\ . \ x \ . \ -x \ . \ x \ - 200 \ . \ x = 0 }}$

$\boxed { \bold { 480000 -x^{2} - 200x = 0 }}$

$\texts \bf{Ordenamos\ los \ t\'erminos }$

$\boxed { \bold { x^{2} + 200x- 480000 = 0 }}$  

$\large\textbf{ Tenemos una ecuaci\'on cuadr\'atica}$                                

$\boxed { \bold { x^{2} + 200x- 480000 = 0 }}$

$\texts \bf{Donde\ a= 0, \ b= 200 \ y\ c = -480000 }$

$\large\textbf{ Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica}$

$\boxed{ \bold { \frac{ -b \pm \sqrt{ b^{2} - 4 ac } }{2a } }}$

$\texts \bf{Sustituimos \ los \ valores\ de \ a= 0, \ b= 200 \ y\ c = -480000 \ }\\\texts \bf{Para \ resolver\ para\ x }$

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm \sqrt{ 200^{2} - 4 \ . \ (1\ . \ -480000) } }{2\ . \ 1 } }}$

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm \sqrt{ 40000 \ - 4 \ . \ -480000 } }{2 } }}$    

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm \sqrt{ 40000 \ + 1920000 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm \sqrt{ 1960000 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm \sqrt{ 1400^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold {x = \frac{ -200 \pm 1400 }{2 } }}$

$\texts \bf{Simplificamos \ dividiendo \ entre \ dos }$

$\boxed{ \bold {x = -100 \pm 700 } }}$

$\boxed{ \bold {x_{1} = 600 } }}$

$\boxed{ \bold {x_{2} = - 800 } }}$

$\texts \bf{La \ respuesta \ final\ para \ los \ valores\ de\ x \ es \ la \ combinaci\'on \ de }\\\texts \bf{ambas \ soluciones: \ \ \ \ \boxed{ \bold {x = 600, -800 } }} }\\\\\texts \bf{Donde \ tomamos\ el\ \ valor \ positivo \ de \ x }$

$\boxed{ \bold {x = 600 } }}$

$\texts \bf{Finalmente \ para \ hallar\ la \ cantidad \ de \ arbolitos\ que \ consigue \ }\\\texts \bf{comprar \ la \ empresa\ debemos \ tener \ en \ cuenta \ que \ por \ la \ oferta }\\\texts \bf{conseguida \ esta \ pudo\ comprar \ 200 \ arbolitos \ m\'as \ con \ la \ misma \ }\\\texts \bf{cantidad \ de \ dinero\ \ }$

$\textbf{ Lo que est\'a dado por la expresi\'on }$

$\boxed{ \bold {x + 200 } }}$

$\textbf{ Reemplazamos el valor hallado de x }$

$\boxed{ \bold {600 + 200 } }}$

$\boxed{ \bold {800 \ arbolitos } }}$

$\large\textbf{ La empresa consigue comprar 800 arbolitos }$

Answer 2

La empresa, que practica la responsabilidad social, compró  600  arbolitos para ser sembrados en todos los parques del distrito donde efectúa sus actividades.

¿Podemos resolver la situación planteada por medio de un sistema de ecuaciones no lineales?

Si, un sistema de ecuaciones no lineales nos ayudaría a resolver el problema. De acuerdo con los datos, se deben plantear  dos ecuaciones. Una con la situación original y otra con el número de árboles aumentado.

Definimos las incógnitas  

• x     número de arbolitos comprados
• y     precio de cada arbolito, en soles

El sistema de ecuaciones sería:

x y  =  4800

(x  +  200) (y  -  2)  =  4800

Se resuelve por el método de sustitución, tomando el valor de  y  de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda.

x y  =  4800                ⇒              y  =  4800 / x

(x  +  200) (4800 / x  -  2)  =  4800          ⇒        

(x  +  200) (4800  -  2 x)  =  4800 x          ⇒        

4800 x  -  2x²  +  960000  -  400 x  =  4800 x          ⇒        

-2x²  -  400 x  +  960000  =  0          ⇒        

x²  +  200 x  -  480000  =  0        

Factorizamos por la técnica de binomios con término semejante:

(x  +  800) (x  -  600)  =  0

De aquí que    x  =  -800        x  =  600

Ya que  x  representa cantidad de arbolitos, seleccionamos el valor positivo.

La empresa, que practica la responsabilidad social, compró  600  arbolitos para ser sembrados en todos los parques del distrito donde efectúa sus actividades.

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