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El conjunto de los divisores
Aunque el conjunto de los divisores de un número aparece en muchas cuestiones y en este blog hemos hecho bastantes referencias a él, conviene, para entender algunas cuestiones sobre funciones multiplicativas, que le demos un repaso.
Consideremos, por ejemplo, el conjunto de los divisores de 240=24*3*5:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
Lo primero que hay que considerar es que es un conjunto finito. Eso parece una trivialidad, pero nos evita preocuparnos por sumas o productos infinitos.
Orden
Los divisores presentan un orden total respecto a su valor absoluto, y además, cada divisor d está asociado a N/d mediante una correspondencia biunívoca que invierte ese orden. Si multiplicamos en la tabla siguiente dos divisores en columna siempre nos resulta 240:
240 120 80 60 48 40 30 24 20 16 15 12 10 8 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 30 40 48 60 80 120 240
Por tanto, d y N/d recorren el mismo conjunto con órdenes opuestos.
Como todo tipo de divisores, los de N presentan también un orden parcial respecto a la relación divisor-múltiplo. En el siguiente esquema representamos el retículo correspondiente a los divisores de 240:
No se han representado todas las relaciones, para no complicar el esquema, pero cada dos divisores tiene un elemento minimal que es su MCD y otro maximal, su MCM. Obsérvese que al recorrer el esquema de arriba abajo va aumentando el número de divisores primos de las descomposiciones factoriales.
Número
Desde las enseñanzas secundarias sabemos que si un número N se descompone en factores primos como
El número de divisores, o función Tau, viene dado por
D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )
Y el conjunto de divisores coincide con los términos del producto
Esto ya es algo sabido. Sólo hay que destacar que el número de divisores depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.
La fórmula anterior se traduce en un producto cartesiano formado eligiendo una potencia de un factor primo cada vez. Este producto cartesiano que forman los términos de la expresión (1) es fundamental para entender más tarde cómo se comportan las funciones multiplicativas sobre el conjunto de divisores.
El conjunto de divisores de un número es uno de los mejores ejemplos que existen de concurrencia entre cuestiones combinatorias y de divisibilidad.
Divisores libres de cuadrados
Si sólo consideramos los factores libres de cuadrados obtendremos un esquema similar al del Binomio de Newton. Esto nos será muy útil para algunas funciones multiplicativas.
Los divisores libres de cuadrados poseen factores primos distintos. De esta forma, para engendrar uno de estos divisores bastará elegir algunos de los factores primos, pero una sola vez cada uno. Así desembocamos en un problema de combinaciones. Lo vemos para el caso del 240, para el que el número de factores primos distintos es 3:
Divisores sin ningún factor primo: El 1. Hay en total C3,0
Divisores con un factor: 2, 3, 5. En total C3,1
Con dos factores distintos: 6, 10 y 15: C3,2
Con tres factores: 30, es decir C3,3
Así que en total hay 8. Si recuerdas el desarrollo del binomio, esto ocurre porque C3,0+ C3,1+ C3,2+ C3,3 = 23 = 8
Generalizando:
El número de divisores libres de cuadrados en un número que posee k factores primos distintos es 2k
Esta clasificación la usaremos en una próxima entrada. Hemos recorrido los ocho números libres de cuadrados 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
Por tanto, el número de divisores no libres de cuadrados será:
D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )- 2k
En el caso de 240 sería: 5*2*2-8=12, que son estos: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 40, 48, 60, 80, 120, 240
Divisores del producto
Si tomamos dos números A y B primos entre sí y los multiplicamos, sus conjuntos de divisores quedarán multiplicados término a término, todos los de A con cada uno de B.
Por ejemplo, si 240, con 20 divisores, lo multiplicamos por 119=7*17, que posee 4 divisores, 1, 7, 17 y 119, resultará 28540, con estos 80 divisores:.