La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por P(X) = - x² + 18x +144, en donde "x" es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga una gráfica de esta función.
Respuestas
Determinamos los valores de interés para graficar la curva de la utilidad diaria de la venta de árboles.
Para resolver este problema seguimos el siguiente procedimiento:
- Determinamos el vértice de la ecuación simple.
- Determinamos las intersecciones.
- Graficamos la parábola.
A continuación explicamos el procedimiento.
- Paso 1: determinación del vértice.
La ecuación de la parábola en su forma simple viene dada por:
P(x) = a*x^2 + b*x +c
P(x) = -1*x^2 + 18*x +144
Por inspección determinamos los coeficientes:
a = -1
b = 18
c = 144
El vértice se obtiene primero determinando el valor de x:
x = -b/2a
x = -18/(2* -1)
x = 9
Sustituimos el valor de x y determinamos el punto de las coordenadas:
P(9) = -1*9^2 + 18*9 +144
P(9) = 225
El vértice es el punto:
V(9,225)
- Paso 2: Determinación de las intersecciones:
Las intersecciones con el eje x se determinan igualando la ecuación de la parábola a cero:
-1*x^2 + 18*x +144 = 0
La solución es:
X1 = -6
X2 = 24
La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x=0:
P(0) = -1*0^2 + 18*0 +144
y = 144
- Paso 3: Gráfica de la parábola:
Como el coeficiente que multiplica a x^2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es el punto más bajo. Con este valor y con las intersecciones se grafica la curva como se muestra en la figura.
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El vértice de la parábola es (18, 144) y los puntos de cortes son (0, 144) y (24,0) donde hay otro punto de corte que no se considera pues x es negativo
¿Cómo determinar el vértice de la parábola descrita?
El vértice de la parábola ax² + bx + c = 0, esta dado por el valor de x tal que:
x = -b/2a
Cálculo del vértice de la función de utilidad
Entonce sis tenemos que la función es -x² + 18x +144, tenemos que a = -1, b = 18 y c = 144, por lo tanto el vértice es:
x = -18/-1 = 18
Calculamos el valor de "y":
-(18)² + 18*18 + 144 = 144
El vértice es: (18,144)
Calculo de los puntos de intersección con los ejes
- Punto de intersección eje y: entonces hacemos x = 0, si x = 0, entonces y = -0² + 18*0 + 144 = 144, entonces el punto de intersección es (0,144)
- Punto de intersección eje x: entonces hacemos y = 0, tenemos que -x² + 18x + 144 = 0 ⇒ x² - 18x - 144 = 0 (x - 24)(x + 6), entonces x = 24, tenemos que x no puede ser negativo pues x es una cantidad, por lo tanto el punto ce corte es (24,0)
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