Question

Desde la ventana de un edificio un observador dirige la mirada hacia la parte inferior de una ventana del edificio de enfrente, que se encuentra más abajo que la suya. Si la distancia entre los edificios es de 16 m y el ángulo de depresión de la visual del observador es de 40°17', ¿ Cuánto más alta está su ventana de la del edificio de enfrente?​

Answer 1

La diferencia de altura entre las ventanas es de aproximadamente 13.56 metros. Luego la ventana del observador se encuentra  aproximadamente 13.56 metros más alta que la ventana del edificio de enfrente

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la diferencia de altura entre las dos ventanas, el lado AC (b) que representa la distancia entre los dos edificios y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador- ubicado en la ventana del edificio más alto- hasta la ventana del edificio de enfrente con un ángulo de depresión de 40°17’ (40.28°)

Donde se pide hallar:

La diferencia de altura entre las dos ventanas para determinar cuánto más alta está la ventana del observador con respecto a la del edificio de enfrente

Expresamos el ángulo dado de manera sexagesimal en forma decimal

$\boxed {\bold { \alpha = 40^o17 '}}$

Como en este ejercicio nos han dado el ángulo de depresión en grados y minutos, lo convertiremos a grados decimales para resolver el problema

Sabemos que un grado equivale a 60 minutos

$\bold{1^o = 60'}$

Luego dejamos los 40 grados como están y convertiremos los 17 minutos a grados

$\boxed {\bold {17 \not min\ . \left( \frac{1^o}{60\not min} \right) = \frac{17}{60}^o =0.28\overline{3} ^o = 0.28 ^o}}$

Ya convertidos los minutos a grados:

Sumamos grados con grados

Agregando el valor decimal hallado a los 40°

$\boxed {\bold { \alpha = 40^o + 0.28^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 40.28^o }}$

En el gráfico adjunto se encuentra el procedimiento

Trabajamos en el triángulo ABC

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 40.28° al punto A para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Conocemos la distancia entre los dos edificios y de un ángulo de depresión de 40.28°

• Distancia entre los edificios = 16 metros

• Ángulo de depresión = 40.28°

• Debemos hallar la diferencia de altura entre las dos ventanas para determinar cuánto más alta está la ventana del observador con respecto a la del edificio de enfrente

Hallamos la diferencia de altura entre las ventanas

Si la tangente de un  ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia entre los dos edificios - y conocemos un ángulo de depresión de 40.28° y debemos hallar la diferencia de altura entre las dos ventanas, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(40.28^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan( 40.28^o )= \frac{diferencia \ de \ altura\ }{ distancia\ entre\ edificios } } }$

$\boxed{\bold {diferencia \ de \ altura = distancia \ entre\ edificios \ . \ tan( 40.28^o ) }}$

$\boxed{\bold {diferencia \ de \ altura = 16\ metros \ . \ tan(40.28^o ) }}$

$\boxed{\bold {diferencia \ de \ altura = 16\ metros \ . \ 0.847461733412 }}$

$\boxed{\bold {diferencia \ de \ altura \approx 13.559387\ metros }}$

$\large\boxed{\bold {diferencia \ de \ altura \approx 13.56\ metros }}$

La diferencia de altura entre las ventanas es de aproximadamente 13.56 metros