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Respuesta:
La primera rama, definida por una regla de correspondencia 1+0.5·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que x∈(0, 5]. Así, ∄ f(0), f(2)=1+0.5·2=2 y f(5)=1+0.5·5=3.5.
La segunda rama, definida por una regla de correspondencia 0.7·x es la que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que x∈[5, ∞). Así, f(5.01)=0.7·5.01=3.507 y f(10)=7.
En este apartado vamos a profundizar en su estudio a través de los siguientes puntos:
Concepto
Representación gráfica
Análisis
Dominio
¿Preparado?
Concepto
Una función a trozos, también llamada función a tramos, función segmentada o función seccionada, es aquella que se define con una expresión analítica diferente para distintos intervalos de su dominio. Tienen la forma general:
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Expr1Expr2⋮ExprnsisisiSubconjunto1Subconjunto2Subconjunton
Donde:
Expr1, Expr2, Exprn : Son las fórmulas concretas con las que se obtiene el valor de la función f(x) (variable dependiente y). Se utiliza una u otra según la rama o intervalo del dominio en el que esté la variable independiente x
Subconjunto1, Subconjunto2, Subconjunton : Son los intervalos de números reales para los cuales está definida esa rama. Deben expresar un rango de valores disjuntos de la variable independiente x. Dicho de otra manera, un valor de x no puede estar en dos ramas distintas
Las funciones por ramas son muy importantes para modelar el comportamiento de fenómenos reales de tu día a día.
Tu compañía telefónica establece el precio de una llamada con un coste de establecimiento de 1€. Además, los primeros 5 minutos de llamada se pagan a 0.5€. a partir de entonces el costo del minuto es de 0.7€.
A partir de esta situación podemos encontrar una función f(x) que nos permita conocer el importe de una llamada a partir de los minutos x que dura la misma. Es claro que el valor de x debe ser mayor que 0, para que pueda existir una llamada, y por tanto nos cobren por ella. Además, existen dos tramos claramente diferenciados:
El primer tramo, en los primeros 5 minutos de llamada: 0<x⩽5⇒1+0.5x
El segundo tramo, a partir del minuto 5 de la llamada, en el que el coste será el coste completo de los 5 primeros minutos de llamada, más 0.7€ por minuto: x>5⇒3.5+0.7(x−5)=0.7x
Así pues nos queda como resultado la función con la que abríamos el apartado:
f(x)={1+0.5⋅x0.7xsisi0<x≤5x>5
Gráfica
Para realizar la gráfica de una función definida a trozos, simplemente hay que tener en cuenta que cada tramo corresponde con una fórmula distinta y, por tanto, también con una forma gráfica distinta. Procederemos elaborando una tabla de valores para cada rama, teniendo en cuenta que los valores de x que escojamos deben pertenecer a dicha rama. Posteriormente representaremos la rama en el rango de valores para el que es válida. Para ello debes prestar especial atención a los extremos de cada rama, que han de estar incluidos en la tabla. Así mismo, debes tener claro el significado de los signos <, ≤, ≥ y >.
Elaboración de una gráfica de una función a trozos. Especial atención a extremos del intervalo
Explicación paso a paso: