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Explicación paso a paso:
259258+258928
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¡HOLA¡
Explicación paso a paso:
Buen Día.
La ecuación que nos permite hallar la suma de los primeros n términos de la sucesión An = n² se obtiene de:
Sea un binomio al cubo:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
restemos b³ a ambos lados de la igualdad:
(a+b)³ -b³= a³ + 3a²b + 3ab²
Ahora:
reemplacemos b por los términos de la sucesión Cn = n y a por 1:
(1+0)³ - 0³ = 1³ + 3(1)²(0) + 3(1)(0²)
(1+1)³ - 1³ = 1³ + 3(1)²(1) + 3(1)(1²)
(1+2)³ - 2³ = 1³ + 3(1)²(2) + 3(1)(2²)
.
.
.
(1+n)³ - n³ = 1³ + 3(1)²(n) + 3(1)(n²)
Sumemos estas (n+1) ecuaciones:
(n+1)³ = (n+1) + 3(0+1+2+3...+n) + 3(0²+1²+2²+...+n²)
Donde se nota que en la parte izquierda se cancelan todos los términos menos dos.
Ahora:
La serie numérica Bn= 0+1+2+3...+n tiene como resultado:
n(n+1)/2, reemplazando:
(n+1)³ = (n+1) + 3(n(n+1)/2) + 3(0²+1²+2²+...+n²)
2(n+1)³ - 2(n+1) - 3n(n+1) = 6(0²+1²+2²+...+n²)
(n+1) (2n² + 4n +2 -2 - 3n) = 6(0²+1²+2²+...+n²)
(n+1)(2n² + n)/6 = (0²+1²+2²+...+n²)
n(n+1)(2n + 1)/6 = 1²+2²+...+n²
Demostrando por inducción:
Dem:
Queremos probar que ∀ n ∈ Ν : 1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6
Sea Pn: 1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6
debemos probar que P(n) satisface:
1) P(1) : 1² = 1(2)(3)/6 = 1, lo cual es verdadero.
2) Sea n ∈ Ν , debemos probar que P(n) ⇒ ρ(n + 1) es verdadero.
Iniciemos suponiendo que P(n) es verdadero, es decir se cumple:
1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6
Como P(n+1): 1²+2²+3²...+n²+(n+1)² = (n+1)((n+1) +1)(2(n+1)+1)/6
Sea
1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6
entonces sumando (n+1)² a ambos lados de la igualdad:
1²+2²+ 3²+ …+n²+ (n+1)² = n(n +1)(2n+1)/6 + (n+1)²
=n(n +1)(2n+1)/6 + 6(n+1)²/6
=(n +1)(n(2n+1)+6(n+1))/6
=(n +1)(2n²+7n+6)/6
Factorizando:
2n²+7n+6 =( (2n)²+ 7(2n) + 12 )/2
=( (2n +3)(2n+4) )/2
=(2n + 2 +1)(n+2)
=(2(n +1)+1)(n+2)
=(n +1)(2(n +1)+1)(n+2) /6
Luego hemos probado que ∀n ∈ Ν : ρ(n) ⇒ ρ(n+1) es verdadera