Question

Demostrar identidad trigonométrica​

Answer 1

Hola :D

Se nos pide demostrar:

$\cos^{4}(\theta)-\sin^{4}(\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)$

Me voy a centrar en la expresión del lado izquierdo, la cual la podemos poner así:

$(\underbrace{\cos^{2}(\theta)}_{a})-(\underbrace{\sin^{2}(\theta)}_{b})^{2}$

La expresión corresponde a la diferencia de cuadrados, la cual tiene la forma:

$\boxed{(a^{2} -b^{2})=(a+b)(a-b)}$

En la expresión ya aclaré cual es $a$ y $b$, sustituimos:

$(\cos^{2} (\theta))^{2}-(\sin^{2} (\theta))^{2} =(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)) \\ \boxed{\cos^{4}(\theta)-\sin^{4}(\theta) =( \cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))}$

La expresión la sustituimos en la inicial:

$(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)$

En ambos lados está el factor $\cos^{2}(\theta)-\sin(\theta)^{2}$, por lo que simplificamos:

$(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta))\cancel{(\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta))}=\cancel{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)}\\\boldsymbol{\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=1}$

Otra manera de ver la operación es pasar a dividir $\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)$ al lado derecho:

$\cos^{2}(\theta)+\sin^{2} (\theta) =\dfrac{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2} (\theta) }{\cos^{2}(\theta)-\sin^{2} (\theta) }$

Lo mismo entre lo mismo es $1$.

$\boldsymbol{\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=1}$

Lo anterior es verdadero, ya que corresponde a la identidad:

$\boxed{\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}\theta= 1}$

Sólo que en nuestra respuesta no está acomodado "correctamente", pongo comillas ya que se está aplicando la propiedad conmutativa, la cual es que puedes poner en el orden que tu quieras los términos, al fin y al cabo viene a ser lo mismo.

$\textcolor{red}{\texttt{Moderador\:Grupo\:Rojo}}$