Question

Demostrar identidad trigonométrica​

Answer 1

Hola :D

Tenemos:

$\dfrac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)} +\dfrac{1+\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=2\csc(\theta)$

Me decanto a desarrollar la expresión del lado izquierdo.

Primero, hacemos el quebrado, tomemos en cuenta que:

$\boxed{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{ad \pm cb}{bd} }$

Entonces:

$\dfrac{\sin^{2} (\theta)+(1+\cos(\theta) )^{2} }{(1+\cos(\theta))(\sin(\theta))}=2\csc(\theta)$

Me voy a centrar en expandir el numerador, primero debemos desarrollar el binomio al cuadrado que aparece ahí, para lo cual usamos lo siguiente:

$\boxed{(a\pm b)^{2} =a^{2}\pm 2ab+b^{2}}$

Tendremos:

$\sin^{2}(\theta)+\underbrace{1^{2}+2(1)(\cos(\theta))+\cos^{2}(\theta)}_{(1+\cos(\theta))^{2} }\\\sin^{2}(\theta)+1+2\cos(\theta)+\cos^{2}(\theta)$

Voy a acomodarlo de ésta manera:

$\underbrace{\sin^{2} (\theta)+\cos^{2}(\theta)}_{1}+1+2\cos(\theta)$

En éste caso aplique la propiedad conmutativa, por lo que el cambio no afecta a la expresión, la expresión que es igual a $1$ es una identidad trigonométrica fundamental.

Prosiguiendo:

$1+1+2\cos(\theta)\to 2+2\cos(\theta)$

Ambos tienen un factor común: $2$.

$\Rightarrow 2(1+\cos(\theta))$

Ahora, volvemos a la expresión inicial:

$\dfrac{2\cancel{(1+\cos(\theta))}}{\cancel{(1+\cos(\theta))}(\sin(\theta))}=2\csc(\theta)$

Se simplifica, quedando:

$\dfrac{2}{\sin(\theta)}=2\csc(\theta)$

Bien, ahora aplicamos ésta identidad:

$\boxed{\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)} }$

Por lo que:

$\dfrac{2}{\sin(\theta)}=2(\dfrac{1}{\sin(\theta)})\\\boldsymbol{\dfrac{2}{\sin(\theta)}=\dfrac{2}{\sin(\theta)} }$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!!