Question

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica con proceso​

Answer 1

Se tiene:

$\dfrac{1 + \tan^{2} ( \alpha ) }{1 + \cot^{2} ( \alpha ) } = {( \dfrac{1 - \tan( \alpha ) }{1 - \cot( \alpha ) })}^{2}$

Se nos pide demostrar que lo anterior es verdadero.

Vamos a simplificar el lado derecho, recordemos lo siguiente:

$\boxed{( { \dfrac{x}{y}}^{2} ) = \dfrac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} }}$

Por lo que tendremos:

$\dfrac{1 + \tan^{2} ( \alpha ) }{1 + \cot^{2} ( \alpha ) } = {\dfrac{(1 - \tan( \alpha ))^{2} }{(1 - \cot( \alpha ))^{2} }}$

Ahora, hacemos la multiplicación cruzada:

$\underbrace{(1 + \tan^{2} ( \alpha ) )(1 - \cot( \alpha ) )^{2}}_{ \clubsuit} = \underbrace{(1 + \cot {}^{2} ( \alpha ) )( 1 - \tan ( \alpha ))^{2}}_{ \heartsuit} \\ \texttt{lo \: desarrollare \: por \: separado}$

Para el desarrollo de todo hay que tener en cuenta el binomio al cuadrado:

$\boxed{ {(a \pm \: b)}^{2} = {a}^{2} \pm \: 2ab \: + {b}^{2} }$

Con esto en mente, desarrollamos:

$\clubsuit \: (1 + \tan^{2} ( \alpha ) )(1 - \cot( \alpha ) )^{2} \\ (1 + \tan^{2} ( \alpha ) )(1 - 2 \cot( \alpha ) + \cot^{2} ( \alpha ) ) \\ \texttt{se \: aplica \: propiedad \: distributiva} \\ \underbrace{1 - 2 \cot( \alpha ) + \cot^{2} ( \alpha ) }_{(1)(1 - 2 \cot( \alpha ) + \cot ^{2} ( \alpha ) ) } + \underbrace{\tan ^{2} ( \alpha ) - 2 \tan^{2} ( \alpha ) \cot( \alpha ) + \tan^{2} ( \alpha ) \cot ^{2} ( \alpha ) } _{( \tan( \alpha ))(1 - 2\cot( \alpha ) + \cot ^{2} ( \alpha ) ) }$

Tal parece que no podemos seguir simplificando, pero no es así, los últimos $2$ términos se pueden simplificar, primero:

$- 2 \tan^{2} ( \alpha ) \cot( \alpha )$

Recordemos la siguiente identidad:

$\boxed{ \tan( \alpha ) \cot( \alpha ) = 1}$

Tendremos:

$- 2 \underbrace{\tan( \alpha ) \tan( \alpha )}_{ \tan^{2} ( \alpha ) } \cot( \alpha ) \\ - 2 \tan( \alpha ) \underbrace{ \tan( \alpha ) \cot( \alpha ) }_{1} \\ \Rightarrow - 2 \tan( \alpha )$

Y también:

$\tan^{2} ( \alpha ) \cot^{2} ( \alpha )$

Se volverá a usar la identidad que propuse:

$\underbrace{\tan( \alpha ) \tan( \alpha )}_{ \tan {}^{2} ( \alpha ) } \underbrace{\cot( \alpha ) \cot( \alpha ) } _{ \cot {}^{2} ( \alpha ) } \\ \texttt{acomodando} \\ \underbrace{\tan( \alpha ) \cot( \alpha )}_{1} \underbrace{\tan( \alpha ) \cot( \alpha ) }_{1} \\ \Rightarrow \: 1$

Entonces, tendremos:

$1 - 2 \cot( \alpha ) + \cot^{2} ( \alpha ) + \tan^{2} ( \alpha ) - 2 \tan( \alpha ) + 1 \\ \to \: \boldsymbol{\tan ^{2} ( \alpha ) + \cot {}^{2} ( \alpha ) - 2 \tan( \alpha ) - 2 \cot( \alpha ) + 2}$

Ya acabamos el lado izquierdo, lo expliqué a fondo, por lo que la parte derecha iré un poco más rápido y sin muchos rodeos.

$\heartsuit \: (1 + \cot {}^{2} ( \alpha ) )( 1 - \tan ( \alpha ))^{2} \\ (1 + \cot {}^{2} ( \alpha ) )(1 - 2\tan( \alpha ) + \tan^{2} ( \alpha ) ) \\ 1 - 2 \tan( \alpha ) + \tan^{2} ( \alpha ) + \cot^{2} ( \alpha ) - 2 \tan( \alpha ) \underbrace{\cot {}^{2} ( \alpha ) }_{ \cot( \alpha ) \cot( \alpha ) } + \underbrace{\tan {}^{2} ( \alpha ) \cot {}^{2} ( \alpha ) }_{ \texttt{1}} \\ 1 -2 \tan( \alpha ) + \tan {}^{2} ( \alpha ) + \cot {}^{2} ( \alpha ) - 2 \underbrace{ \tan( \alpha ) \cot( \alpha ) }_{1} \cot( \alpha ) + 1 \\ 1 - 2 \tan( \alpha ) + \tan {}^{2} ( \alpha ) + \cot {}^{2} ( \alpha ) - 2 \cot( \alpha ) + 1 \\ \to \boldsymbol{ \tan {}^{2} ( \alpha ) + \cot {}^{2} ( \alpha ) - 2 \tan( \alpha ) - 2 \cot( \alpha ) + 2 }$

Como se puede apreciar, tanto del lado izquierdo como el derecho está la misma expresión, por lo que es verdadera.