Question

Desde la ventana más alta de una torre a 20 metros sobre el piso, Rapunzel observa a un caballero que se encuentra a 5 metros de distancia con respecto a la base de la torre. Determina el ángulo de depresión con el que Rapunzel observa al caballero (no consideres la altura del caballero)

Answer 1

Respuesta:

$\alpha = 75.96^{\circ}$

Explicación paso a paso:

Primero, al razonar, el angulo de depresion es equivalente al angulo de altura del caballero, el cateto opuesto al caballero es la altura de la torre, y la distancia con la torre es su cateto adyacente, la razon entre estas dos es la tangente del angulo:

$\tan (\alpha )=\frac{20}{5} =4$

Para saber el angulo, habrá que invertir la tangente:

$\tan^{-1} (4)=\alpha$

Sacando este por calculadora o tabla notable, $\alpha = 75.96^{\circ}$

Answer 2

El ángulo de depresión con el que Rapunzel observa al caballero es de aproximadamente 75°57'36''. Expresado en grados decimales es de 75,96°

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura de torre, o mejor dicho la altura a la que se encuentra Rapunzel dentro de la torre observando al cabalero. Dado que si depreciamos la altura del caballero depreciamos al mismo tiempo una parte de la torre, donde tanto el caballero como la torre se ubican sobre el suelo o el plano horizontal. - como se ve en la figura -  El lado BC representa la distancia a la que se encuentra el caballero con respecto a la base de la torre, en donde esta longitud al no tener en cuenta la altura del caballero está representada por una proyección paralela al piso. El lado AC es la proyección visual desde los ojos de Rapunzel hasta el extremo superior de la cabeza del caballero al cual observa. Donde este lado conforma un ángulo con la ubicación del caballero.

Donde se pide hallar el ángulo de depresión α que conforma la visual de Rapunzel al observar al caballero con la proyección trazada paralela al plano del suelo, teniendo en cuenta que el caballero está ubicado en el vértice C

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo α al punto C para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la altura de la torre, o mejor dicho a que altura se encuentra Rapunzel dentro de la torre observando por la ventana de esta al caballero y la distancia a la que se encuentra este hasta la base de la torre

• Altura de la torre o la  altura a la que se encuentra Rapunzel dentro de esta  = 20 metros

• Distancia del caballero hasta la base de la torre = 5 metros

• Debemos hallar el ángulo de depresión con el cual Rapunzel observa al caballero

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB) que representa la altura de la torre o a que altura se encuentra Rapunzel dentro de la torre, asimismo conocemos el valor del cateto adyacente (lado BC) que equivale a la distancia del caballero hasta la base de la torre y se pide hallar el ángulo de depresión con el que Rapunzel observa al caballero, podemos relacionar los datos conocidos con la tangente y determinar el ángulo buscado

Hallando el valor del ángulo de depresión α

Planteamos

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto}{cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{altura \ de \ la \ torre \ -\ Rapunzel}{distancia \ torre\ al \ caballero} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{20 \ metros }{5 \ metros} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) =4 }}$

$\boxed{ \bold { \alpha = arctan(4 ) }}$

$\boxed{ \bold { \alpha \approx 75,9637\° }}$

$\boxed{ \bold { \alpha \approx 75,96\° }}$

El ángulo de depresión es de 75,96° expresado en grados decimales

Convertiremos los grados decimales a grados, minutos y segundos

Donde de

$\boxed{ \bold { 75,96\° }}$

Dejamos la unidad entera como está teniendo 75 grados

Tomamos la parte decimal y la multiplicamos por 60 para hallar los minutos

$\boxed{ \bold { 0,96 \ . \ 60= 57,60 }}$

Donde tomamos la porción entera y obtenemos 57 minutos

Tomamos ahora la parte decimal que ha quedado y la multiplicamos por 60 para hallar los segundos

$\boxed{ \bold { 0,60 \ . \ 60= 36 }}$

Obteniendo 36 segundos

Tomamos los tres conjuntos de números enteros y los combinamos empleando grados, minutos y segundos

Teniendo

75°57'36""