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Respuesta:
Objetivos de aprendizaje
· Encontrar raíces cuadradas principales y sus opuestos.
· Aproximar raíces cuadradas y encontrar raíces exactas con una calculadora.
Introducción
Seguramente has trabajado con raíces de plantas y árboles en un jardín, ¿pero sabías que también hay raíces en las matemáticas?
Sí, las raíces existen en las matemáticas. La raíz más común es la raíz cuadrada. Veamos lo que son las raíces, cómo se relacionan con los exponentes y cómo puedes calcular la raíz de un número.
Cuadrados y raíces
Para entender mejor las raíces cuadradas, vamos a repasar algunos datos sobre los exponentes. Veamos la tabla siguiente.
Exponente
Nombre
Forma Expandida
“Tres al cuadrado”
“Tres a la segunda potencia”
“Cuatro a la quinta potencia”
“Cuatro a la quinta”
“x cúbica”
“x a la tercera potencia”
“x a la tercera”
“x a la potencia n”
“x a la n”
Puedes pensar en los números exponenciales como una “multiplicación repetida.”
Del mismo modo que dividir es la inversa de multiplicar, la inversa de elevar a un número a una potencia es obtener la raíz de ese número. La raíz más común (y la que vamos a estudiar) es la llamada raíz cuadrada. Cuando tratas de encontrar la raíz cuadrada de un número (digamos, 25), estás tratando de encontrar un número que multiplicado por sí mismo crea el número original. En el caso de 25, puedes encontrar que 5 • 5 = 25, entonces 5 es la raíz cuadrada.
El símbolo para la raíz cuadrada se llama símbolo radical y es: . La expresión se lee como “la raíz cuadrada de veinticinco” o “el radical del veinticinco.” El número que se escribe debajo del símbolo radical se llama radicando. Observa la siguiente tabla.
Radical
Nombre
Forma Simplificada
“Raíz cuadrada de treinta y seis”
“Radical de treinta y seis”
“Raíz cuadrada de cien”
“Radical de cien”
“Raíz cuadrada de dos cientos veinticinco”
“Radical de dos cientos veinticinco”
Observa de nuevo . Te darás cuenta que hay otro valor que, cuando se multiplica por sí mismo, también resulta en 25. Ese es el número −5.
Por definición, el símbolo de la raíz cuadrada siempre significa la raíz positiva, llamada la raíz principal. Entonces, si bien 5 • 5 y −5 • −5 son iguales a 25, sólo 5 es la raíz cuadrada. También debes saber que el cero es especial porque sólo tiene una raíz cuadrada: él mismo (como 0 • 0 = 0).
Si conoces la raíz cuadrada principal también puedes encontrar su opuesto. (Recuerda que cualquier número sumado a su opuesto es igual a 0. Entonces, por ejemplo, .) En la tabla siguiente, observa que si bien te dará la raíz principal, te dará el opuesto. Por ejemplo, es igual a la raíz principal, 6 y es igual al opuesto, −6.
Radical
Raíz Principal
Radical Opuesto
Raíz Opuesta
Y ahí está, poner un signo negativo enfrente del radical tiene el efecto de convertir una raíz principal en su opuesto (el negativo de la raíz cuadrada del radicando).
Ahora que ya recordamos los exponentes y ya conocemos el concepto de raíz cuadrada. ¿De qué nos sirve entender uno y el otro?
Los exponentes y las raíces están conectados, como las raíces se pueden expresar como exponentes fraccionales. Por ahora, veamos la conexión entre el exponente “” y las raíces cuadradas; a continuación veremos otros exponentes fraccionales y otras raíces. La raíz cuadrada de un número puede representarse usando un símbolo radical o elevando el número a la potencia . Esto se ilustra en la tabla siguiente.
Forma Exponencial
Forma de Raíz
Raíz de un Cuadrado
Simplificación
5
4
10
El cuadrado de 4 es 16 porque 4 veces 4 es igual a 16. Recuerda de tu experiencia con los exponentes que también puedes escribirlo como .
Piensa de esta manera, puedes saber que la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 • 3 = 9. De manera similar, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 • 5 = 25 y la raíz cuadrada de es x porque . Por ejemplo, . (Normalmente verás este tipo de notación, donde tomas la raíz cuadrada de un número al cuadrado, cuando simplificas, multiplicas y divides radicales.)
Simplificando raíces cuadradas
Muy bien... las raíces cuadradas y los exponentes están conectados. Ten esto en cuenta cuando empecemos a simplificar raíces cuadradas, “Simplifica ,” puede leerse como “Simplifica la raíz cuadrada de 144.” Piensa en un número que cuando se multiplica por sí mismo, su producto es 144.
Ejemplo
Problema
Simplificar.
Determina qué número multiplicado por sí mismo tiene un producto de 144.
12
La raíz cuadrada de 144 es 12.
Respuesta
Ejemplo
Problema
Simplificar.
El símbolo radical actúa como un signo de agrupación.
El negativo significa que tomamos el opuesto del valor después de simplificar el radical.
−(9)
La raíz cuadrada de 81 es 9. Entonces, tomamos el opuesto de 9.
Sin embargo, si el signo negativo está dentro del radical como en , no hay manera de simplificar usando números reales. Esto es porque no existe ningún número que multiplicado por sí mismo resulte en −49. Recuerda, un número negativo multiplicado por otro número negativo resulta en un número positivo: −7 • −7 = 49.
Explicación:
Respuesta:
V (verdadero)
Explicación:
Explicación paso a paso:
Es como decir un número a lo multiplicas por b y lo divides por b.
Esto sería:
a.b/b=a
Es el mismo número.