Question

Resolver los siguientes triángulos rectángulos

Answer 1

Explicación:

¡Hola!

Para resolver cada uno de los casos expuestos, es necesario primeramente determinar qué tipo de triángulo es: En estos casos tenemos todos triángulos rectángulos.

Además de que al lado más largo del triángulo se le llama hipotenusa, mientras los otros dos lados restantes se les llama catetos.

Ahora, sabiendo esto, pueden emplearse lo que se denominan razones trigonométricas, que son las siguientes:

$Sen\alpha = \frac{CatetoOpuesto}{Hipotenusa} \\\\Cos\alpha =\frac{CatetoAdyacente}{Hipotenusa} \\\\Tan\alpha = \frac{CatetoOpuesto}{CatetoAdyacente}$

Donde el símbolo $\alpha$ corresponde al ángulo conocido.  Entonces, si te fijas en las ecuaciones, puede resolverse todo el triángulo solo conociendo uno de sus lados y uno de sus ángulos, solo bastará en aplicar bien las ecuaciones.

PRIMER TRIÁNGULO:

Para el caso del primer triángulo, se identifica un ángulo de 45°, y que el lado que se conoce es de 16, y que además este lado está justo al frente del ángulo conocido, es decir, en el lado opuesto o cateto opuesto. Entonces puede aplicarse la primera identidad trigonométrica para conocer la hipotenusa. Y luego de conocer la hipotenusa, puede aplicarse la segunda razón trigonométrica para conocer el cateto adyacente. Así, paso a paso:

$Sen45=\frac{16}{Hipotenusa} \\\\Hipotenusa=\frac{16}{Sen45} \\\\Hipotenusa = 16\sqrt{2}$

Luego:

$Cos45=\frac{CatetoAdyacente}{Hipotenusa} \\\\CatetoAdyacente=Cos45*16\sqrt{2} \\\\CatetoAdyacente=16$

Finalmente, como la suma de los ángulos debe ser 180°, y se conoce un ángulo de 90° y otro de 45°, se sabe entonces que el otro ángulo es de 45°.

SEGUNDO TRIÁNGULO:

Para el caso del segundo triángulo, se identifica un ángulo de 52°, y que el lado que se conoce es de 35, y que además este lado está justo al lado del ángulo conocido, es decir, en el lado adyacente o cateto adyacente. Entonces puede aplicarse la segunda identidad trigonométrica para conocer la hipotenusa. Y luego de conocer la hipotenusa, puede aplicarse la primera razón trigonométrica para conocer el cateto opuesto. Así, paso a paso:

$Cos52=\frac{35}{Hipotenusa} \\\\Hipotenusa=\frac{35}{Cos52} \\\\Hipotenusa= 56.8494$

Luego:

$Sen52=\frac{CatetoAdyacente}{56.8494} \\\\CatetoAdyacente=Sen52*56.8494\\\\CatetoAdyacente= 44.7979$

Finalmente, como la suma de los ángulos debe ser 180°, y se conoce un ángulo de 90° y otro de 52°, se sabe entonces que el otro ángulo es de 38° (180°-(90°+52°))=38°

TERCER TRIÁNGULO:

Para el caso del tercer triángulo, se identifica un ángulo de π/5 (acá cambia un poco la cosa, ¡pero no te asustes!), y que el lado que se conoce es de 106, y que además este lado está justo al frente del ángulo conocido, es decir, en el lado opuesto o cateto opuesto. Entonces puede aplicarse la primera identidad trigonométrica para conocer la hipotenusa. Y luego de conocer la hipotenusa, puede aplicarse la segunda razón trigonométrica para conocer el cateto adyacente. Así, paso a paso:

     NOTA: Importante poner la calculadora en radianes, pues los ángulos están en términos de π.

$Sen(\pi /5)=\frac{106}{Hipotenusa} \\\\Hipotenusa=\frac{106}{Sen(\pi /5)} \\\\Hipotenusa = 180.3379$

Luego:

$Cos(\pi /5)=\frac{CatetoAdyacente}{180.3379} \\\\CatetoAdyacente=Cos(\pi/5) *180.3379\\\\CatetoAdyacente=145.8964$

Finalmente, como la suma de los ángulos debe ser 180°, en este caso debes saber que 180° es equivalente a π en radianes. Entonces, si se conoce el ángulo de π/5, queda solo restar como se restan fraccionarios normales: $\pi -\frac{\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}$

CUARTO TRIÁNGULO:

Para el caso del triángulo final se identifica un ángulo de $\frac{3\pi}{8}$ y además la hipotenusa que vale 425. Podría utilizarse entonces cualquiera de las dos primeras razones trigonométricas, si se identifican bien sus lados. El lado que toca al ángulo es el cateto adyacente, mientras el que no lo toca es el cateto opuesto. Usaremos entonces, en este orden, la primera y la segunda razón trigonométrica:

     NOTA: Importante poner la calculadora en radianes, pues los ángulos están en términos de π.

$Sen(\frac{3\pi}{8})=\frac{CatetoOpuesto}{425}\\\\CatetoOpuesto=Sen(\frac{3\pi}{8})*425\\\\CatetoOpuesto=392.6488$

Luego:

$Cos(3\pi /8)=\frac{CatetoAdyacente}{425} \\\\CatetoAdyacente=Cos(3\pi/8) *425\\\\CatetoAdyacente=162.6404$

También podría haberse hecho por la tercera razón trigonométrica, conociendo uno de los catetos y el ángulo:

$Tan(\frac{3\pi}{8} )=\frac{CatetoOpuesto}{CatetoAdyacente} \\\\CatetoAdyacente=\frac{CatetoOpuesto}{Tan(\frac{3\pi}{8} } )\\\\CatetoAdyacenye= 162.6404$

Finalmente, como la suma de los ángulos debe ser 180°, en este caso debes saber que 180° es equivalente a π en radianes. Entonces, si se conoce el ángulo de 3π/8, queda solo restar como se restan fraccionarios normales: $\pi -\frac{3\pi}{8}=\frac{5\pi}{8}$

Espero haberte ayudado, ¡Saludos! ;)