Question

RACIONALIZAR $\frac{x^{2}-y^{2} }{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} }$

Answer 1

Hola :D

Se nos pide racionalizar:

$\dfrac{x^{2} -y^{2} }{\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} }$

Tomemos en cuenta que:

$\boxed{\sqrt[n]{x^{m} }=x^{\frac{m}{n} } }$

Por lo que:

$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3} } , \:\:\: \sqrt[3]{y}=y^{\frac{1}{3} }$

Empezamos.

Para ello tomemos en cuenta la forma:

$\boxed{(a+b)=(a^{\frac{1}{n} } +b^{\frac{1}{n} })(\underbrace{a^{1-\frac{1}{n} }-a^{1-\frac{2}{n} }b^{\frac{1}{n}}+a^{1-\frac{3}{n} }b^{\frac{2}{n} }...b^{1-\frac{1}{n} } )}_{\texttt{n terminos}}}$

La forma que te mostré es muy aplicable a términos con raíz impar (lo cual tiene el problema).

En nuestro caso $n=3$, por lo que a la expresión dada se le multiplica por su conjugado (por así decirlo), para saber cuántos términos se tendrán nos debemos fijar en $n$, por lo que tendrá $3$ términos, entonces, aplicamos la forma:

$(x^{1-\frac{1}{n}}-x^{1-\frac{2}{n} } y^{\frac{1}{n} }+y^{1-\frac{1}{n} })$

Sustituimos $n$:

$(x^{1-\frac{1}{3} } -x^{1-\frac{2}{3} } y^{\frac{1}{3}}+y^{1-\frac{1}{3} } )\\ \Rightarrow \boldsymbol{(x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } )}$

Entonces, multiplicamos:

$\dfrac{x^{2} -y^{2} }{\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} }(\underbrace{\dfrac{x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } }{x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } } )}_{1}\\\dfrac{(x^{2}-y^{2})(x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } ) }{x+y}$

En el numerador tenemos:

$x^{2} -y^{2}\to \texttt{Diferencia de cuadrados}\\ \texttt{Descomposicion:}\: \boldsymbol{(x+y)(x-y)}$

Luego:

$\dfrac{\cancel{(x+y)}(x-y)(x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } )}{\cancel{x+y}} \to \texttt{Factor comun: (x+y)}\\\mathbb{RESPUESTA}\Rightarrow \boxed{\boxed{(x-y)(x^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{1}{3} }y^{\frac{1}{3} }+y^{\frac{2}{3} } ) }}$