Question

Una cucaracha en reposo, en un instante t1 ve a una gallina come insectos a 300m, que viene hacia ella, con una velocidad constante de 100m/s. Y en ese instante inicia su huida con una aceleración de 5m/s. En que momento se comerá la gallina a la cucaracha ?. Explique cada posible respuesta.

Answer 1

Respuesta: 3.26679 s

Explicación:

Datos:

• Velocidad de la gallina vg = 100 m/s
• Posición inicial de la gallina x₀ = -300 m
• Aceleración inicial de la cucaracha - a = 5 m/s²

Ecuación de desplazamiento de la gallina (MRU):

$d =x_0+ v_gt= - 300 + 100t$

Ecuación de desplazamiento de la cucaracha (MRUA partiendo del reposo):

$d=\dfrac{1}{2}at^2=\dfrac{1}{2}5t^2=2.5t^2$

En qué momento se comerá la gallina a la cucaracha ?

En el momento en el que las distancias sean las mismas, esto es:

-300 + 100 t = 2.5t²

2.5t² - 100t + 300 = 0

$\mathrm{Para\:una\:ecuacion\:de\:segundo\:grado\:de\:la\:forma\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{Para\:}\quad a=2.5,\:b=-100,\:c=300:\quad\\ \\t_{1}=\dfrac{-\left(-100\right)+ \sqrt{\left(-100\right)^2-4\cdot \:2.5\cdot \:300}}{2\cdot \:2.5}=2\left(10+\sqrt{70}\right)\approx 36.73320\;s$

$\\\boxed{t_{2}=\dfrac{-\left(-100\right)- \sqrt{\left(-100\right)^2-4\cdot \:2.5\cdot \:300}}{2\cdot \:2.5}=2\left(10-\sqrt{70}\right)\approx 3.26679\;s}$

La solución correcta es t = 3.26679 s que representa el tiempo en el que la gallina alcanza la cucaracha. La solución de 36.737320 s significa que, suponiendo que la gallina no alcance la cucaracha a los t = 3.26679 s y que la gallina siga moviéndose delante de la cucaracha, y la cucaracha siga acelerando detrás de la gallina, la cucaracha alcanzará a la gallina a los 36.73320 s.