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Respuesta:
Ángulo. Porción de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan
.
Medida de ángulos.
Grados sexagesimales (DEG) 1º=60'=3600'' La circunferencia está dividida en 360º
Radianes (RAD) 360º=2·pi radianes.
Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:
Seno sen a = ordenada / radio = y / r
Coseno cos a = abscisa / radio = x / r
Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
Cotangente cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:
Ángulos notables.
30º Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un triángulo equilátero:
sen 30º = y/r= (r/2) / r = 1/2
cos 30º = x/r= 3½ / 2
r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4 x=(3r2/4)½=r3½/2
tg 30 º=(1/2)/(3½/2)= 3½ / 3
60º Formamos el triángulo equilátero de la figura:
sen 60º= y/r= (r 3½ / 2)/r= 3½ / 2
r2 = y2 + ( r/2)2
y = ( r2-r2/4)½ = ( 3 r2 / 4 )½ = r 3½ / 2
cos 60º= (r/2)/r = 1 / 2
tg 60º = (3½ / 2)/(1/2) = 3½
45º La x y la y son iguales, por lo que se forma un triángulo isósceles:
sen 45º = y/r = 2½ / 2
r2 = x2 + y2 = 2 y2
y=(r2/2)½=r(2½)/2
cos 45º= x/r = y = 2½ / 2
tg 45º = sen 45º / cos 45º = 1
Relaciones entre las razones trigonométricas.
1.- Teorema fundamental.
sen a = y / r de donde y = r sen a
cos a = x / r de donde x = r cos a
como según Pitágoras: x2+y2=r2 tenemos que r2cos2a + r2sen2a=r2
es decir: cos2a + sen2a = 1
2.- Dividiendo el teorema fundamental entre sen2:
1 + cos2a / sen2a = 1/ sen2a
1 + cotg2a = cosec2a
3.- Dividiendo el teorema fundamental entre cos2:
tg2a+1= 1 / cos2a
1 + tg2a = sec2a
Relaciones entre las razones trrigonométricas de algunos ángulos.
1. ángulos suplementarios. Teniendo en cuenta la definición de cada razón trigonométrica, se deduce:
sen a = sen b cos a = - cos b tg a = - tg b
2. ángulos complementarios.
Observamos que y'=x y que x'=y
sen b = sen (90-a) = y'/r = x/r = cos a
cos b = cos (90-a) = x'/r = y / r = sen a
tg b = cotg a
3. ángulos que difieren en 180º
sen b = sen (180+a) = - sen a
cos b = cos (180+a) = - cos a
tg b = sen b / cos b = - sen a / - cos a = tg a
4.- ángulos opuestos.
sen b = y´/r = - y/r = -sen a
cos b = x´/r = x/r = - y/r = cos a
tg b = sen b / cos b = - sen a / cos a = - tg a
Representación de las razones trigonométricas sobre la circunferencia goniométrica.
Se denomina circunferencia goniométrica a la que tiene de radio la unidad.
En esta circunferencia: sen a = y / r = y
cos a = x / r = x
tg a = y / x = y' / x' = y' ya que x'=1
cotg a = x / y = x' / y' = x' ya que y'=1
sec a = 1/cos a = 1/(x/r)= r / x = r' / x' = r' ya que x'=1
cosec a = 1/sen a = 1/(y/r)= r / y = r' / y' = r' ya que y'=1
TEOREMAS DE ADICIÓN
1.- ADICIÓN DE ÁNGULOS. Suponemos circunferencia goniométrica (R=1)
a) Coseno de la suma.
cos(a+b)=OC/OB=OC=OD-CD=OD-BE=OAcosa-ABsena=
=OBcosbcosa-OBsenbsena=cosacosb-senasenb
b) Coseno de la diferencia. En la expresión del coseno de la suma sustituímos b por -b
cos(a-b)=cos[a+(-b)]=cosacos(-b)-senasen(-b)=cosacosb-sena(-senb)=cosacosb+senasenb
c) Seno de la suma.
sen(a+b)=-cos[a+(b+90)]=-[cosacos(b+90)-senasen(b+90)]=-[cosa(-senb)-senacosb]=
=senacosb+cosasenb
d) Seno de la diferencia.
sen(a-b)=senacos(-b)+cosasen(-b)=senacosb-cosasenb
e) Tangente de la suma.
tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=(senacosb+cosasenb)/(cosacosb-senasenb)=(tga+tgb)/(1-tgatg
Explicación paso a paso: