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Respuesta:
En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como: x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales). Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.
* Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de C tal que: i²=-1, o también expresado (de forma mnemotécnica):
De esta manera la ecuación x² + 4 = 0, se solucionaría así:
* Número complejo: La forma general (forma binómica) es:
a + bi
es decir, un número complejo está formado por dos números reales, a y b, llamadas:
a: parte real
b: parte imaginaria
por ejemplo: 5 - 7 i, -4 + 8 i, ½ + ¾ i.
2.2 El cuerpo C de los números complejos
En el conjunto C de los números complejos se definen las dos operaciones internas, + y . , cuyo funcionamiento es como sigue:
Suma: se suman partes reales y partes imaginarias por separado, es decir:
Producto: se multiplican según la regla aritmética:
NOTA: Este último resultado puede obtenerse mediante un producto aritmético:
1. (C, +) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 0 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su opuesto, el -a - bi.
2. (C, . ) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 1 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su inverso, el .
3. Además la operación "." es distributiva respecto de la "+", lo que signitica que (C,+,.) represente un cuerpo conmutativo.
2.3 Representación según el diagrama de Argand.
Sea un número complejo cualquiera, z=a+bi, existe una representación sobre un plano (llamado diagrama de Argand), en el que sobre dos ejes perpendiculares -como se muestra en la figura- se coloca sobre el eje horizontal (eje real) la parte real de z, a, y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria de z, b, se trazan sendas paralelas a los ejes (líneas punteadas en la figura) y su punto de corte es la punta del fasor z.
(NOTA: Se llama fasor a un vector cuyo punto de aplicación es fijo, en el caso de números complejos éste es el origen).
En esta representación es de destacar, sobre el triángulo rectángulo inferior de la figura:
* que a y b son precisamente los catetos de ese triángulo rectángulo.
* que la hipotenusa es la longitud del fasor z, esta longitud se llama "módulo de z", y se la representa por |z|, o también por 'r'.
* que el ángulo que forma z con el eje positivo real (en sentido anti-horario), q, es llamado "argumento de z".
También es destacable las dos relaciones siguientes:
Además llamando r al "módulo" y q al "argumento" de z = a + b i, tenemos:
por lo tanto, el complejo z también puede expresarse:
z = a + b i = r (cos q + i sin q)
El argumento q, a veces suele expresarse como arg(z), y el módulo, |z| ó r, a veces se le representa por mód(z).
Forma trigonométrica:
A esta forma de expresar el número complejo, z = r (cos q + i sin q) se la llama forma trigonométrica. El ángulo q suele expresarse en radianes (seguir el vínculo para repasar este concepto), aunque también puede ser expresado en grados sexagesimales.
Forma polar:
Otra forma de expresar el número complejo z = a + b i es, , llamada forma polar.
En cuanto a los módulos de números complejos podemos destacar las si
con q expresado en radianes (es imprescindible pues los grados no son números reales), podremos expresar el paréntesis como:
por lo tanto, el número complejo z puede ser expresado como:
que es la llamada forma exponencial de z:
Como ejemplo, pasemos a la forma exponencial el complejo:
lo primero que haremos es representarlo en el plano de Argand:
A continuación hallamos módulo y argumento.
el módulo es:
el argumento según la gráfica es:
Explicación paso a paso: