Question

2. Demuestre que el tri´angulo con v´ertices A(3, 1), B(−5, −3) y C(4, −1) es un tri´angulo rect´angulo y encuentre su ´area.

Answer 1

Vamos a tener 3 rectas; la recta AB, la reacta AC y la recta BC.
Calculemos la pendiente de estas 3 rectas.
Dados dos puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) la pendiende de la recta que pasa por estos 2 puntos es m=(y₂-y₁) / (x₂-x₁), Por tanto.

Pendiente de la recta AB:
m(AB)=(-3-1) / (-5-3)=-4/-8=1/2.

Pendiente de la recta AC:
m(AC)=(-1-1) / (4-3)=-2/1=-2.

Dos rectas son perpendiculares , es decir forman un ángulo de 90º si se da la siguiente condición, en sus pendientes.
m=-1/m´
si m=1/2; entonces 1/2=-1/ (m´)=-1/-2=1/2
Por tanto al ser perpendiculares, forman un ángulo de 90º y por tanto se trata de un triángulo rectángulo.

Sabemos ahora que el ángulo recto se encuentra en el vértice A, por tanto tenemos que hallar la distancia de AB, y la distancia de AC, para calcular su área.
Dados 2 puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), la distancia entre ellos es:
d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
Por tanto:
dist(A,B)=√[(-5-3)²+(-3-1)²]=√(64+16)=√80   u
dist(A,C)=√[(4-3)²+(-1-1)²]=√(1+4)=√5  u

Área=[ dist(A,B)    x    dist(A,C)] / 2 =(√80 u.√5 u) /2=10 u².

Sol: el área son 10 u²