Question

Las 3 raices cubicas de 8

Answer 1

Resolvemos la ecuación x³ - 8 = 0

Según el Álgebra, una ecuación de grado n tiene n raíces, entre reales y complejas. 

Para el caso del problema hay una raíz real y dos complejas conjugadas.

La ecuación correspondiente es:

x^(1/3) = |x|^(1/3) {cos [(Ф + 2 k π)/3] + i sen[(Ф + 2 k π)/3]}

con k = 0, 1, 2

|x| = 8; 8^(1/3) = 2; Ф = 0 (fase del complejo cuando es real positivo)

k = 0; xo = 2 (cos 0 + i sen 0) = 2

k = 1; x1 = 2 [cos (2 π)/3 + i sen (2 π)/3] = - 1 + i √3

k = 2; x2 = 2 [cos (4 π)/3 + i sen (4 π)/3] = - 1 - i √3

Las tres raíces cúbicas de 8 son:

2, (- 1 + i √3), (- 1 - i √3)  

Saludos Herminio

Answer 2

Respuesta:

$\sqrt[3]{8} = 2, -1+\sqrt{3} i, -1-\sqrt{3} i$

Explicación paso a paso:

Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que toda expresion tiene tantas raices como lo indica su grado. O sea, una expresión de primer grado tiene una raíz, una expresión de segundo grado tiene dos raíces, una expresión de tercer grado tiene tres raíces y así sucesivamente. Estas raíces son una combinacion de raíces naturales y complejas o pueden ser todas de naturaleza compleja.

Para encontrar estas raíces solamente necesitamos aplicar el álgebra:

*Partiendo de la premisa de que la raíz cúbica de ocho es un número natural

$n=\sqrt[3]{8}$

*Elevando toda la expresión al cubo

$(n = \sqrt[3]{8}) ^{3}$

$n^{3} = 8$

*Colocando todo en el primer miembro

$n^{3} - 8 = 0$

*Tenemos en el primer miembro una diferencia de potencias iguales que es igual a...

$(n-2) (n^{2}+2n+4)=0$

*Igualando el primer factor a cero...

$n-2=0\\n=2$que es nuestra primera respuesta

*Igualando el segundo factor a cero...

$n^{2} +2n+4=0$

*Dejando los términos en n en el primer miembro

$n^{2} +2n=-4$

*Somamos 1 a toda la expresión

$n^{2} +2n+1=-4+1$

*Tenemos en el primer miembro un trinomio quadrado perfecto que es igual a...

$(n+1)^{2} =-3$

*Sacamos la raiz quadrada a toda la expresión

$\sqrt{(n+1)^{2}=-3 }$

$n+1=\sqrt{-3} \\n+1=\sqrt{3} i\\n+1=-\sqrt{3} i$

Las dos últimas expresiones resultan del doble signo de la raíz cuadrada

*Despejando n en las dos raíces tenemos

$n=-1+\sqrt{3} i\\n=-1-\sqrt{3} i$

que son las dos raices que faltaban