Respuestas
Respuesta:
1. Igualdades y ecuaciones La balanza está en equilibrio. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5 Representa una igualdad numérica Una igualdad tiene dos miembros, el primero es la expresión que está a la izquierda del signo igual, y el segundo, el que está a la derecha. 20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5 La igualdad x + 20 = 10 + 20 es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor es desconocido. 1er miembro 2º miembro Una ecuación también se llama igualdad algebraica. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual, (=). Colegio El Valle
2. Clasificación de las ecuaciones Las ecuaciones se clasifican atendiendo al número de letras o incógnitas y al término de mayor grado. Ejemplos: x + 10 = 20 – 12 es una ecuación de primer grado con una incógnita. 2x + 2y = 100 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. x2 = 16 es una ecuación de segundo grado con una incógnita. xy = 12 es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas. x3 – x2 + 5x = 10 es una ecuación de tercer grado con una incógnita. EJERCICIO PROPUESTO Sustituye en cada caso, la letra o letras por números para que se verifique la igualdad. a) a – 3 = 10 b) 5x = 100 c) x + y = 8 d) 5 + 2x = 15 e) x2 = 16 a = 13 x = 20 x = 1, y = 7 x = 5 x = 4 x = 5, y = 3 x = – 4 Colegio El Valle
3. Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que al sustituirlos en la ecuación hacen que se verifique la igualdad. Ejemplo 1: ¿Cuáles son los valores de x que al reemplazarlos en la ecuación 5 + x = 8 hacen que se cumpla la igualdad? Existe un solo valor: es x = 3, porque 5 + 3 = 8. La ecuación anterior, 2x + 2y = 100, tiene infinitas soluciones. Ejemplo 2: ¿Con una cuerda de 100 cm podemos formar muchos rectángulos. La condición que deben cumplir sus lados viene expresada por la ecuación 2x + 2y = 100. Algunos pares de valores son: x = 30, y = 20; x = 40, y = 10; x = 25, y = 25. Comprobamos la primera pareja: 2 · 30 + 2 · 20 = 60 + 40 = 100. Ejemplo 3: ¿Cuáles son los valores de x que al reemplazar en la ecuación x2 = 36 hacen que la igualdad se verifique? Hay dos valores: x = 6 y x = –6, pues: 62 = 36 y (–6)2 = 36. Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Colegio El Valle
4. Ecuaciones equivalentes La solución de las siguientes ecuaciones es x = 6: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4x – 12 = x + 6 Sustituyendo: b) 3x = 18 4 · 6 – 12 = 6 + 6 = 12 3 · 6 = 18 Ecuación dada: 3x + 4 – x = 7 + x 3x + 4 – x – 4 = 7 + x – 4 2x = 3 + x Restamos 4 a cada miembro. 2x – x = 3 + x – x x = 3 Restamos x a cada miembro Comprueba que x = 3 es la solución de las tres ecuaciones. c) x = 6 Es evidente. Las tres ecuaciones son equivalentes. Colegio El Valle