Un polígono regular cuyo ángulo central es de 15°. Hallar el número de lados, numero de diagonales totales, la suma de sus ángulos interiores y su ángulo interior
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Respuesta:
Un pentadecágono tiene 90 diagonales, resultado que se puede tener aplicando la ecuación general para deteminar el número de diagonales de un polígono, {\displaystyle D=n(n-3)/2}{\displaystyle D=n(n-3)/2}; siendo el número de lados {\displaystyle n=15}{\displaystyle n=15}, tenemos:
{\displaystyle D={\frac {15(15-3)}{2}}=90}{\displaystyle D={\frac {15(15-3)}{2}}=90}
La suma de todos los ángulos internos de cualquier pentadecágono es 2340 grados o {\displaystyle 13\pi }{\displaystyle 13\pi } radianes.
Pentadecágono regular
Un pentadecágono regular es el polígono que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del pentadecágono regular mide 156º o {\displaystyle 13\pi /15}{\displaystyle 13\pi /15} rad. Cada ángulo externo del pentadecágono regular mide 24º o {\displaystyle 2\pi /15}{\displaystyle 2\pi /15} rad.
Al multiplicar la longitud t de un lado de un pentadecágono regular por quince (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su perímetro P.
{\displaystyle P=n\cdot t=15\ t}{\displaystyle P=n\cdot t=15\ t}
El área A de un pentadecágono regular de lado t es de la siguiente forma:
{\displaystyle A={\frac {15(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{15}})}}\simeq 17,6424\ t^{2}}{\displaystyle A={\frac {15(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{15}})}}\simeq 17,6424\ t^{2}}
donde {\displaystyle \pi }\pi es la constante pi y {\displaystyle \tan }{\displaystyle \tan } es la función tangente (con el argumento en radianes).
Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {15(t)\ a}{2}}}{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {15(t)\ a}{2}}}
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