por cada relación de proporcionalidad directa determinada la constante de proporcionalidad involucradas expresa la como fracción a)por cada 38 kilómetros recorridos se gasta 4 litros de gasolina b)por cada taza de azúcar se necesita una taza y media de harina para hacer un bizcocho c) en una promoción escolar venden 24 cuadernos de $576
Respuestas
Respuesta:
Dadas dos variables X e Y, Y es (directamente) proporcional a X (X e Y varían directamente, o X e Y están en variación directa) si hay una constante distinta de cero tal que:
{\displaystyle y=kx.\,}{\displaystyle y=kx.\,}
La relación a menudo se denota
Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.
{\displaystyle y\propto x}{\displaystyle y\propto x}
y la razón constante
{\displaystyle k=y/x\,}{\displaystyle k=y/x\,}
es llamada, constante de proporcionalidad.
Para ilustrar, supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen, dicho cociente corresponde a la constante de proporcionalidad.3
Primer ejemplo
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios [cita requerida], la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ({\displaystyle 5 \over 4}{\displaystyle 5 \over 4} en el ejemplo) tal que
{\displaystyle y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}\ }{\displaystyle y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}\ }
recta que pasa por el origen de coordenadas
Si se consideran {\displaystyle x_{1},x_{2}...x_{n}\ }x_1, x_2 ... x_n \ e {\displaystyle y_{1},y_{2}...y_{n}\ }{\displaystyle y_{1},y_{2}...y_{n}\ } como valores de variables {\displaystyle x\ }{\displaystyle x\ } e {\displaystyle y\ }{\displaystyle y\ }, entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
{\displaystyle \Delta y=k\cdot \Delta x\ }{\displaystyle \Delta y=k\cdot \Delta x\ }
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
tres tablas de proporcionalidad 2x2
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
tres maneras de ver la proporcionalidad
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
Explicación paso a paso:
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