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Objetivos de Aprendizaje
· Determinar si un par ordenado es una solución de una desigualdad.
· Graficar una desigualdad en dos variables.
Introducción
Las desigualdades lineales pueden graficarse en un plano de coordenadas. Las soluciones de una desigualdad lineal son una región del plano coordenado. Una recta límite, que es la ecuación lineal relacionada, sirve como frontera para la región. Puedes usar una representación visual para encontrar los valores que hacen válida a la desigualdad — y también los que la hacen inválida. Veamos las desigualdades volviendo al plano de coordenadas.
Desigualdades Lineales como Regiones
Las desigualdades lineales son diferentes a las ecuaciones lineales, si bien puedes aplicar lo que sabes sobre ecuaciones para ayudarte a entender las desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son enunciados matemáticos que comparan dos valores. Las ecuaciones usan el símbolo =; las desigualdades se representan con los símbolos <, ≤, >, y ≥.
Una manera de visualizar desigualdades de dos variables es graficarlas en el plano de coordenadas. Así es como se ve la desigualdad x > y. La solución es la región sombreada.
Hay algunas cosas que debemos notar. Primero, observa la recta límite roja y punteada: esta es la gráfica de la ecuación lineal relacionada x = y. Segundo, observa la región roja a la derecha de la recta. Esta región (excluyendo la recta x = y) representa el conjunto de soluciones de la desigualdad x > y. ¿Recuerdas que todos los puntos en la recta son soluciones de la ecuación lineal de una recta? Bueno, todos los puntos en una región son soluciones de la desigualdad lineal que representa esa región.
Pensemos en esto un momento — si x > y, entonces una gráfica de x > y mostrará todos los pares ordenados (x, y) donde la coordenada-x es mayor que la coordenada-y.
La gráfica de abajo muestra la región x > y así como algunos pares ordenados en el plano de coordenadas. Observa cada par ordenado. ¿Es la coordenada-x mayor que la coordenada-y? ¿Está el par ordenado dentro o fuera de la región sombreada?
Los pares ordenados (4, 0) y (0, −3) están dentro de la región sombreada. En estos pares ordenados, la coordenada-x es más grande que la coordenada-y. Estos pares ordenados están en el conjunto solución de la ecuación x > y.
Los pares ordenados (−3, 3) y (2, 3) están fuera de la región sombreada. En −2 no es mayor que −2. Sin embargo, si la desigualdad hubiera sido x ≥ y (se lee como “x es mayor o igual que y"), entonces (−2, −2) habría sido
Veamos otro ejemplo: la desigualdad 3x + 2y ≤ 6. LA gráfica siguiente muestra la región de valores que vuelve la desigualdad válida (rojo sombreado), la recta límite 3x + 2y = 6, así como un grupo de pares ordenados. Esta vez, a recta límite es sólida, porque puntos en la recta límite 3x + 2y = 6 también son válidos en la ecuación 3x + 2y ≤ 6.
Como hiciste en el ejemplo anterior, puedes sustituir los valores de x y, y en cada uno de los pares ordenados (x, y), en la desigualdad para encontrar soluciones. Si bien pudiste hacerlo en la mente para la desigualdad x > y, a veces construir una tabla de valores tiene sentido para desigualdades más complicadas.
Par Ordenado
Hace a la desigualdad
3 x + 2y ≤ 6
un enunciado válido
Hace la desigualdad
3 x + 2y ≤ 6
un enunciado inválido
(−5, 5)
3(−5) + 2(5) ≤ 6
−15 +10 ≤ 6
−5 ≤ 6
(−2, −2)
3(−2) + 2(–2) ≤ 6
−6 + (−4) ≤ 6
–10 ≤ 6
(2, 3)
3(2) + 2(3) ≤ 6
6 + 6 ≤ 6
12 ≤ 6
(2, 0)
3(2) + 2(0) ≤ 6
6 + 0 ≤ 6
6 ≤ 6
(4, −1)
3(4) + 2(−1) ≤ 6
12 + (−2) ≤ 6
10 ≤ 6
Si sustituimos (x, y) en la desigualdad y obtenemos un enunciado válido, entonces el par ordenado es una solución de la desigualdad, y el punto estará graficado dentro de la región sombreada o será parte de la recta límite sólida. Un enunciado falso significa que el par ordenado no es una solución, y el punto estará fuera de la región sombreada, o será parte de una recta límite punteada.
Ejemplo
Problema
Usa la gráfica para determinar qué pares ordenados son soluciones de la desigualdad x – y < 3.
Las soluciones estarán localizadas en la región sombreada. Como este es un problema de “menor que”, los pares ordenados en la recta límite no están incluidos en el conjunto solución.
(−1, 1)
(−2, −2)
Estos valores están localizados en la región sombreada, por lo que son soluciones (Cuando se sustituyen en la desigualdad x – y < 3, producen enunciados válidos.)
(1, −2)
(3, −2)
(4, 0)
Estos valores no están localizados en la región sombreada, por lo que no son soluciones (Cuando se sustituyen en la desigualdad x – y < 3, producen enunciados inválidos.)