Question

un niño y una niña estan parados en lados opuestos de una pileta circular. empiezan a jugar corriendo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la pileta. La rapidez de la niña es de 9/8 la rapidez del niño ¿Cuántas vueltas ha dado él al momentos en que ella la alcanza por primera vez?
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Answer 1

El número de vueltas que ha dado él en el momento en que ella lo alcanza por primera vez es de 4 vueltas

Procedimiento:

Se trata de un problema de Movimiento Circular Uniforme (MCU)

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria)

La ecuación de desplazamiento angular está dada por:

$\boxed{ \bold { \theta = \theta_{0} + \omega \ . \ t}}$

Donde

$\boxed{ \bold { \theta \ \ \ \ \ \to \\\ desplazamiento \ angular}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{0} \ \ \ \ \to \\\ posici\'on \ inicial}}$

$\boxed{ \bold { \omega \ \ \ \ \ \to \\\ velocidad \ angular}}$

$\boxed{ \bold { t\ \ \ \ \to \\\ \ tiempo}}$

Solución

Establecemos las posiciones angulares como:

Posición angular del niño:

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~no} = \omega \ . \ t}}$

Posición angular de la niña:

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~na} = \frac{9}{8}\ \omega \ . \ t \ - \ \ \pi }}$

Donde ambos se encontrarán o se alcanzarán cuando sus posiciones sean iguales

Por lo tanto igualaremos las dos expresiones o desplazamientos angulares para despejar el tiempo

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~na} = \ \theta_{ni\~no} }}$

$\boxed{ \bold { \frac{9}{8}\ \omega \ . \ t \ - \ \ \pi = \ \omega \ . \ t }}$

$\boxed{ \bold { \frac{9}{8}\ \omega \ . \ t \ - \ \omega \ . \ t = \ \pi }}$

$\boxed{ \bold { \frac{1}{8}\ \omega \ . \ t = \ \pi }}$

$\boxed{ \bold {t = \frac{8 \ \pi }{ \omega } }}$

Sustituimos el tiempo en la posición angular del niño

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~no} = \omega \ . \ t}}$

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~no} = \omega \ . \ \left( \frac{8 \ \pi }{ \omega } \right) }}$

Simplificando

$\boxed{ \bold { \theta_{ni\~no} = 8 \ \pi }}$            

Para hallar el número de vueltas que ha dado el niño en la pileta circular al momento en que ella lo alcanza por primera vez, dividimos la posición angular del niño entre 2π radianes que es lo que equivale una circunferencia completa

$\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = \frac{8 \ \pi }{ 2 \ \pi } }}$

$\boxed{ \bold { N\° \ de \ Vueltas = 4 }}$

Solución alternativa  

Por diferencia de velocidades entre ambos, en cada vuelta dada la niña aventaja al niño en 1/8 de vuelta. Por lo tanto para calcular la media vuelta que los separa podemos emplear este razonamiento

$\boxed{ \bold { 1 \ vuelta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ \frac{1}{8} \ de \ separaci\'on }}$

$\boxed{ \bold { x \ vuelta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ \frac{1}{2} \ de \ separaci\'on }}$

$\boxed {\bold { x \ vuelta = \left(\frac{ \frac{1}{2} \ . \ 1 }{ \frac{1}{8} }\right) }}$

$\boxed {\bold { x \ vuelta = \frac{1}{2} \ . \ \frac{8}{1} }}$

$\boxed {\bold { x \ vuelta = \frac{8}{2} }}$

$\boxed {\bold { x \ vuelta = 4 \ vueltas }}$