Question

Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 12 pulgadas de lado, doblando luego hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo. ¿Cuál es el volumen máximo? (Véase la fig. 13.7.)

Answer 1

Respuesta:

Sea x el lado del cuadradito que se recorta en cada esquina. Por tanto x es también la altura de la caja.

El lado de la base de la caja son las 12 pulgadas menos las dos x que se recortan, una en cada extremo del lado. Es decir, el lado de la base de la caja es 12-2x.

Así que el volumen es V(x) = (12-2x)•(12-2x) • x = 4•x^3  - 48•x^2  + 144•x.

El volumen será máximo o mínimo para los valores de la x que anulen la primera derivada,

V’(x) = 12x^2-96x+144 = 0

x^2 – 8x + 12 = 0

x = (8 ± raíz(64-48))/2 = (8±5)/2 = 6 ó 2

Para 6 el volumen es cero, luego es trivialmente un mínimo, por tanto el volumen es máximo si se recortan cuadraditos de lado 2.

El volumen máximo es (12-2x)^2•x = 8^2•2 = 128 pulg^2